Teste a série para convergência ou divergência:
Passo 1
O enunciado pede que testemos se a série
converge ou diverge. Informações dadas: o termo geral é
; a soma é sobre
. Observação imediata: o fator
alterna o sinal dos termos (positivo para
par, negativo para
ímpar).
Passo 2
Vou lembrar um teste básico e crucial (e muito simples) que costumamos usar como primeiro passo: o teste do termo geral (ou critério necessário de convergência). Ele diz:
Isto é, um requisito necessário para convergência de qualquer série é que o termo geral tenda a zero. Se o limite do termo geral não for zero (ou não existir), então a série diverge. Intuição rápida: se os termos não vão para zero, você continua somando pedaços de tamanho não nulo e a soma não pode estabilizar.
Passo 3
Apliquei o teste do termo geral à nossa série. Primeiro vou analisar o limite da parte sem o sinal alternante:
Calculo o limite de
dividindo numerador e denominador por
:
Explicação passo a passo: ao dividir por
obtemos termos
que tendem a
, sobrando
.
Passo 4
Como
, a magnitude dos termos não vai para zero. Agora olhe o termo geral completo
As subsequências com
par e
ímpar tendem a valores diferentes:
Portanto
não existe e, em particular, não é zero. Pelo teste do termo geral, a série não pode convergir.
Passo 5
Comentário final e intuitivo: como os termos não diminuem para zero, os somatórios parciais continuam a oscilar acrescentando valores da ordem de
(positivo ou negativo), então não há estabilização da soma. O famoso teste de séries alternadas de Leibniz (que exige que os módulos dos termos diminuam e tendam a zero) não pode ser aplicado aqui porque a condição de tendência a zero falha.
Resposta
A série diverge.