Teste a série para convergência ou divergência:
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k} \frac{3 k-1}{2 k+1}

Passo 1

O enunciado pede que testemos se a série
\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k}\,\frac{3k-1}{2k+1}
converge ou diverge. Informações dadas: o termo geral é (-1)^{k}\frac{3k-1}{2k+1}; a soma é sobre k=1,2,3,\dots. Observação imediata: o fator (-1)^{k} alterna o sinal dos termos (positivo para k par, negativo para k ímpar).

Passo 2

Vou lembrar um teste básico e crucial (e muito simples) que costumamos usar como primeiro passo: o teste do termo geral (ou critério necessário de convergência). Ele diz:
\text{Se } \sum b_k \text{ converge, então } \lim_{k\to\infty} b_k = 0.ã
Isto é, um requisito necessário para convergência de qualquer série é que o termo geral tenda a zero. Se o limite do termo geral não for zero (ou não existir), então a série diverge. Intuição rápida: se os termos não vão para zero, você continua somando pedaços de tamanho não nulo e a soma não pode estabilizar.

Passo 3

Apliquei o teste do termo geral à nossa série. Primeiro vou analisar o limite da parte sem o sinal alternante:
a_k := \frac{3k-1}{2k+1}.
Calculo o limite de a_k dividindo numerador e denominador por k:
\lim_{k\to\infty} a_k = \lim_{k\to\infty}\frac{3 - \tfrac{1}{k}}{2 + \tfrac{1}{k}} = \frac{3}{2}.
Explicação passo a passo: ao dividir por k obtemos termos \tfrac{1}{k} que tendem a 0, sobrando \tfrac{3}{2}.

Passo 4

Como \lim_{k\to\infty} a_k = \tfrac{3}{2}\neq 0, a magnitude dos termos não vai para zero. Agora olhe o termo geral completo
b_k := (-1)^{k}\,a_k = (-1)^{k}\,\frac{3k-1}{2k+1}.
As subsequências com k par e k ímpar tendem a valores diferentes:
\lim_{\substack{k\to\infty\\\ k\\ \text{par}}} b_k = +\tfrac{3}{2},\qquad \lim_{\substack{k\to\infty\\\ k\\ \text{ímpar}}} b_k = -\tfrac{3}{2}.í
Portanto \lim_{k\to\infty} b_k não existe e, em particular, não é zero. Pelo teste do termo geral, a série não pode convergir.

Passo 5

Comentário final e intuitivo: como os termos não diminuem para zero, os somatórios parciais continuam a oscilar acrescentando valores da ordem de 1{,}5 (positivo ou negativo), então não há estabilização da soma. O famoso teste de séries alternadas de Leibniz (que exige que os módulos dos termos diminuam e tendam a zero) não pode ser aplicado aqui porque a condição de tendência a zero falha.

Resposta

A série diverge.

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