Teste a série para convergência ou divergência:
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1} \frac{1}{4 k^{2}+1}

Passo 1

O que o enunciado pede: testar se a série
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{1}{4k^{2}+1}
converge ou diverge.
Informações claras do enunciado:
  • O termo geral é (-1)^{k+1}\dfrac{1}{4k^{2}+1}.
  • Os sinais alternam (por causa de (-1)^{k+1}).
  • A parte positiva (módulo) dos termos é a_{k}=\dfrac{1}{4k^{2}+1}, que depende de k.
  • Não há outra informação extra (por exemplo, soma exata pedida) — só nos pedem para testar convergência.

Passo 2

Primeiro passo técnico obrigatório: verificar o limite do termo geral quando k\to\infty. Se os termos não tendem a zero, a série necessariamente diverge.
Calculemos
\lim_{k\to\infty}(-1)^{k+1}\frac{1}{4k^{2}+1}.
Como (-1)^{k+1} oscila entre +1 e -1, o que importa para o módulo é
\lim_{k\to\infty}\frac{1}{4k^{2}+1}.
Note que 4k^{2}+1\to\infty quando k\to\infty, logo
\lim_{k\to\infty}\frac{1}{4k^{2}+1}=0.
Portanto o termo geral da série tende a zero — condição necessária para possível convergência é satisfeita. (Boa notícia: não dá pra descartar a série já por aí.)

Passo 3

Agora aproveitamos que os sinais alternam: uma ferramenta clássica e muito prática aqui é o teste da série alternante (teste de Leibniz). Vou explicar o teste de forma direta e depois aplicá-lo.
O teste da série alternante diz: para uma série da forma
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k} b_{k}\quad\text{ou}\quad\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1} b_{k},
onde b_{k}\ge 0, se
  1. \{b_{k}\} é monotonicamente decrescente (ou seja, b_{k+1}\le b_{k} para todo k a partir de algum ponto), e
  2. \lim_{k\to\infty} b_{k}=0,
então a série converge.
Aqui temos b_{k}=a_{k}=\dfrac{1}{4k^{2}+1}. Já verificamos que \lim_{k\to\infty} a_{k}=0. Falta verificar que a_{k} é decrescente.
Mostramos que a_{k+1}<a_{k} por cálculo direto:
a_{k}-a_{k+1}=\frac{1}{4k^{2}+1}-\frac{1}{4(k+1)^{2}+1} =\frac{4(k+1)^{2}+1-(4k^{2}+1)}{(4k^{2}+1)(4(k+1)^{2}+1)}.
No numerador,
4(k+1)^{2}+1-(4k^{2}+1)=4(k^{2}+2k+1)-4k^{2}=8k+4,
que é positivo para todo k\ge 1. O denominador também é positivo. Logo a_{k}-a_{k+1}>0, ou seja a_{k+1}<a_{k}: a sequência a_{k} é estritamente decrescente.
Portanto ambas as condições do teste de Leibniz são satisfeitas, e concluímos que a série
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{1}{4k^{2}+1}
converge. (Isso já garante convergência, mas ainda não diz se é absoluta ou apenas condicional.)

Passo 4

Agora vamos verificar se a convergência é absoluta (melhor ainda) ou apenas condicional. Para isso, estudamos a série dos módulos:
\sum_{k=1}^{\infty}\left|(-1)^{k+1}\frac{1}{4k^{2}+1}\right| =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{4k^{2}+1}.
Uma maneira simples é comparar com uma série p-série conhecida. Observe que, para todo k\ge 1,
4k^{2}+1>4k^{2}\quad\Rightarrow\quad\frac{1}{4k^{2}+1}<\frac{1}{4k^{2}}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{k^{2}}.
A série \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k^{2}} é a clássica p-série com p=2>1, portanto converge. Multiplicando por \dfrac{1}{4} continua convergente. Pelo teste da comparação (comparando termo a termo com uma série convergente maior), segue que
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{4k^{2}+1}
converge.
Como a série dos módulos converge, a série original converge absolutamente. E convergência absoluta implica convergência (já vista), então estamos em boa forma: a série não é apenas convergente, é absolutamente convergente.

Passo 5

Resumo didático e dica de prova rápida (para a prova): ao ver uma série alternante com termos como 1/(ak^{2}+b), o caminho rápido é:
  1. checar que os termos vão a zero (rápido: polinômio no denominador cresce → termo vai a zero);
  2. checar que os módulos são decrescentes (pode ser por derivada ou pela diferença a_{k}-a_{k+1});
  3. aplicar o teste de Leibniz para garantir convergência; e
  4. testar convergência absoluta por comparação com uma p-série (aqui 1/k^{2}). Se a comparação funcionar, declare absoluta.
Você chegou até aqui — manda ver na prova que isso é um clássico que dá ponto fácil!

Resposta

A série \sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\dfrac{1}{4k^{2}+1} converge absolutamente (logo converge).

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