Teste a série para convergência ou divergência:
Passo 1
O enunciado pede para testar a série
Informações dadas:
- Os termos gerais são
. - A série é alternada (os sinais trocam de sinal por causa de
).
A pergunta implícita é: a série converge ou diverge? Se convergir, converge absolutamente ou apenas condicionalmente?
Passo 2
Vamos identificar o termo positivo associado à alternância. Definimos
ou seja, os termos da série alternada podem ser escritos como
com
. Para aplicar o teste de séries alternadas (Teste de Leibniz) precisamos checar duas coisas sobre
:
-
é monotonicamente decrescente para grande (isto é, para todo suficientemente grande). -
.
Se as duas condições valem, a série alternada converge.
Passo 3
Mostrando que
tende a zero. Calculamos o limite:
Como o denominador
cresce sem limite quando
, o quociente tende a zero. Logo,
Isso satisfaz a segunda condição do teste de Leibniz.
Passo 4
Mostrando que
é decrescente. Podemos comparar
e
:
Colocando no mesmo denominador:
Esse numerador é
e o denominador é positivo para
, então
. Portanto
para todo
, ou seja,
é estritamente decrescente.
Passo 5
Como
é positiva, decrescente e tende a zero, pelo Teste de Leibniz a série alternada converge. Em outras palavras,
converge.
Passo 6
Agora verificamos se a convergência é absoluta. Para isso consideramos a série das magnitudes:
Uma maneira simples é usar o teste da comparação limite com a série harmônica
, que diverge. Calculamos
Esse limite é um número finito e positivo (
), portanto, pela comparação limite (limit comparison test), a série
tem o mesmo comportamento de
. Como
diverge, segue que
diverge. Logo a série original não converge absolutamente.
Passo 7
Conclusão combinada: a série alternada converge (por Leibniz), mas a série das magnitudes diverge (pela comparação limite com a harmônica). Portanto a convergência é condicional.
Resposta
A série converge condicionalmente (converge, mas não absolutamente).