Teste a série para convergência ou divergência:
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{3 k-1}

Passo 1

O enunciado pede para testar a série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{3k-1}.
Informações dadas:
  • Os termos gerais são \frac{(-1)^{k-1}}{3k-1}.
  • A série é alternada (os sinais trocam de sinal por causa de (-1)^{k-1}).
    A pergunta implícita é: a série converge ou diverge? Se convergir, converge absolutamente ou apenas condicionalmente?

Passo 2

Vamos identificar o termo positivo associado à alternância. Definimos
a_k = \frac{1}{3k-1},
ou seja, os termos da série alternada podem ser escritos como (-1)^{k-1} a_k com a_k>0. Para aplicar o teste de séries alternadas (Teste de Leibniz) precisamos checar duas coisas sobre a_k:
  1. a_k é monotonicamente decrescente para k grande (isto é, a_{k+1}\le a_k para todo k suficientemente grande).
  2. \lim_{k\to\infty} a_k = 0.
    Se as duas condições valem, a série alternada converge.

Passo 3

Mostrando que a_k tende a zero. Calculamos o limite:
\lim_{k\to\infty} a_k = \lim_{k\to\infty} \frac{1}{3k-1}.
Como o denominador 3k-1 cresce sem limite quando k\to\infty, o quociente tende a zero. Logo,
\lim_{k\to\infty} a_k = 0.
Isso satisfaz a segunda condição do teste de Leibniz.

Passo 4

Mostrando que a_k é decrescente. Podemos comparar a_k e a_{k+1}:
a_k - a_{k+1} = \frac{1}{3k-1} - \frac{1}{3k+2}.
Colocando no mesmo denominador:
a_k - a_{k+1} = \frac{(3k+2)-(3k-1)}{(3k-1)(3k+2)} = \frac{3}{(3k-1)(3k+2)}.
Esse numerador é 3>0 e o denominador é positivo para k\ge1, então a_k - a_{k+1}>0. Portanto a_{k+1}<a_k para todo k, ou seja, a_k é estritamente decrescente.

Passo 5

Como a_k é positiva, decrescente e tende a zero, pelo Teste de Leibniz a série alternada converge. Em outras palavras,
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{3k-1}
converge.

Passo 6

Agora verificamos se a convergência é absoluta. Para isso consideramos a série das magnitudes:
\sum_{k=1}^{\infty} | \tfrac{(-1)^{k-1}}{3k-1} | = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{3k-1}.
Uma maneira simples é usar o teste da comparação limite com a série harmônica \sum \frac{1}{k}, que diverge. Calculamos
\lim_{k\to\infty} \frac{\frac{1}{3k-1}}{\frac{1}{k}} = \lim_{k\to\infty} \frac{k}{3k-1} = \frac{1}{3}.
Esse limite é um número finito e positivo ( 1/3>0), portanto, pela comparação limite (limit comparison test), a série \sum \frac{1}{3k-1} tem o mesmo comportamento de \sum \frac{1}{k}. Como \sum \frac{1}{k} diverge, segue que
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{3k-1}
diverge. Logo a série original não converge absolutamente.

Passo 7

Conclusão combinada: a série alternada converge (por Leibniz), mas a série das magnitudes diverge (pela comparação limite com a harmônica). Portanto a convergência é condicional.

Resposta

A série converge condicionalmente (converge, mas não absolutamente).

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