Teste a série para convergência ou divergência:
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1} \frac{k^{2}}{k^{3}+4}

Passo 1

O enunciado pede para testar se a série
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{k^{2}}{k^{3}+4}
converge ou diverge. Informações dadas:
  • O termo geral da série é (-1)^{k+1}\dfrac{k^{2}}{k^{3}+4}.
  • A parte positiva (módulo) do termo é a_k=\dfrac{k^{2}}{k^{3}+4}.
  • A série é alternada, pois aparece o fator (-1)^{k+1}.
As perguntas implícitas são:
  • A série converge (condicionalmente ou absolutamente) ou diverge?
  • Se converge, é convergência absoluta ou condicional?

Passo 2

Identifico e explico a ferramenta principal: o Teste de Leibniz (Teste da Série Alternada).
  • Enunciado do teste (explicado): se (a_k) é uma sequência de números positivos tal que
    1. \lim_{k\to\infty} a_k = 0, e
    2. a_k é monotonicamente decrescente a partir de algum índice (ou seja, eventualmente decrescente),
      então a série alternada \sum (-1)^{k} a_k converge.
  • Observação importante: não é preciso que a_k seja decrescente desde k=1; basta que seja decrescente a partir de algum N (decrescimento eventual).
Aqui, a_k=\dfrac{k^{2}}{k^{3}+4}. Vou verificar as duas condições do Teste de Leibniz: o limite e a monotonicidade eventual.

Passo 3

Verifico o limite \lim_{k\to\infty} a_k.
Calculemos
\lim_{k\to\infty} \frac{k^{2}}{k^{3}+4}.
Para ver o comportamento para k grande, fatoramos k^{3} no denominador ou dividimos numerador e denominador por k^{3}:
\frac{k^{2}}{k^{3}+4}=\frac{1}{k}\cdot\frac{1}{1+4/k^{3}}.
Quando k\to\infty, 4/k^{3}\to 0, então
\lim_{k\to\infty} \frac{k^{2}}{k^{3}+4}=\lim_{k\to\infty}\frac{1}{k}\cdot\frac{1}{1+4/k^{3}}=0.
Portanto a primeira condição do Teste de Leibniz está satisfeita: a_k\to 0.

Passo 4

Verifico que a_k é eventualmente decrescente. Vou considerar a função contínua correspondente
f(x)=\frac{x^{2}}{x^{3}+4},\qquad x\ge 1,
e analisar sua derivada para inferir monotonicidade para valores inteiros grandes.
Calcule a derivada (mostro passo a passo):
  • Usamos a regra do quociente: \displaystyle f'(x)=\frac{(2x)(x^{3}+4)-x^{2}(3x^{2})}{(x^{3}+4)^{2}}.
  • Simplificando o numerador: (2x)(x^{3}+4)-x^{2}(3x^{2}) = 2x^{4}+8x-3x^{4} = -x^{4}+8x.
Logo
f'(x)=\frac{-x^{4}+8x}{(x^{3}+4)^{2}} = \frac{x(-x^{3}+8)}{(x^{3}+4)^{2}}.
Agora analiso o sinal de f'(x) para x\ge 1:
  • O denominador (x^{3}+4)^{2} é sempre positivo.
  • O numerador tem fator x\ge 1 positivo e (-x^{3}+8).
  • Quando x^{3}>8 (isto é, x>2) temos -x^{3}+8<0, então f'(x)<0.
  • Em x=2, f'(2)=0.
  • Para 1\le x<2, f'(x)>0 (por exemplo, de 1 a 2 a função cresce um pouco).
Conclusão: f(x) (e então os termos a_k=f(k)) é decrescente para x>2, isto é, para k\ge 3 a sequência a_k é decrescente. Assim a_k é eventualmente decrescente (a partir de k=3), o que basta para aplicar o Teste de Leibniz.

Passo 5

Aplicando o Teste de Leibniz: como a_k\ge 0, \lim_{k\to\infty} a_k=0 e a_k é decrescente para k\ge 3, a série alternada
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{k^{2}}{k^{3}+4}
converge. (Explicação intuitiva: os termos alternados com módulo que tende a zero e diminui garantem cancelamentos suficientes para convergência.)
Agora resta saber se a convergência é absoluta ou apenas condicional.

Passo 6

Teste de convergência absoluta: considero a série dos módulos
\sum_{k=1}^{\infty} \left|\;(-1)^{k+1}\frac{k^{2}}{k^{3}+4}\right| = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k^{2}}{k^{3}+4}.
Comparo com a série harmônica \sum \dfrac{1}{k}, porque para grandes k temos k^{2}/(k^{3}+4) com comportamento assintótico parecido a 1/k.
Faço a comparação por limite (Teste da Comparação por Limite):
\lim_{k\to\infty} \frac{\dfrac{k^{2}}{k^{3}+4}}{1/k} = \lim_{k\to\infty} \frac{k^{2}}{k^{3}+4}\cdot k = \lim_{k\to\infty} \frac{k^{3}}{k^{3}+4} =1.
Como o limite é um número finito não nulo ( =1), as duas séries \sum \dfrac{k^{2}}{k^{3}+4} e \sum \dfrac{1}{k} têm o mesmo comportamento quanto à convergência. Sabemos que \sum \dfrac{1}{k} diverge (série harmônica). Portanto a série dos módulos diverge.

Passo 7

Conclusão final: a série original converge (pelo Teste de Leibniz) mas não converge absolutamente (a série dos módulos diverge). Portanto a convergência é condicional.
Força aí — você já fez o mais importante: mostrou que os termos vão a zero e que há decrescimento eventual, depois eliminou a hipótese de convergência absoluta com uma comparação simples com 1/k.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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