O numerador tem fator x\ge 1 positivo e (-x^{3}+8).
Quando x^{3}>8 (isto é, x>2) temos -x^{3}+8<0, então f'(x)<0.
Em x=2, f'(2)=0.
Para 1\le x<2, f'(x)>0 (por exemplo, de 1 a 2 a função cresce um pouco).
Conclusão: f(x) (e então os termos a_k=f(k)) é decrescente para x>2, isto é, para k\ge 3 a sequência a_k é decrescente. Assim a_k é eventualmente decrescente (a partir de k=3), o que basta para aplicar o Teste de Leibniz.
Passo 5
Aplicando o Teste de Leibniz: como a_k\ge 0, \lim_{k\to\infty} a_k=0 e a_k é decrescente para k\ge 3, a série alternada
Comparo com a série harmônica \sum \dfrac{1}{k}, porque para grandes k temos k^{2}/(k^{3}+4) com comportamento assintótico parecido a 1/k.
Faço a comparação por limite (Teste da Comparação por Limite):
\lim_{k\to\infty} \frac{\dfrac{k^{2}}{k^{3}+4}}{1/k} = \lim_{k\to\infty} \frac{k^{2}}{k^{3}+4}\cdot k = \lim_{k\to\infty} \frac{k^{3}}{k^{3}+4} =1.
Como o limite é um número finito não nulo (=1), as duas séries \sum \dfrac{k^{2}}{k^{3}+4} e \sum \dfrac{1}{k} têm o mesmo comportamento quanto à convergência. Sabemos que \sum \dfrac{1}{k} diverge (série harmônica). Portanto a série dos módulos diverge.
Passo 7
Conclusão final: a série original converge (pelo Teste de Leibniz) mas não converge absolutamente (a série dos módulos diverge). Portanto a convergência é condicional.
Força aí — você já fez o mais importante: mostrou que os termos vão a zero e que há decrescimento eventual, depois eliminou a hipótese de convergência absoluta com uma comparação simples com 1/k.