Teste a série quanto a convergência ou divergência:
sumn=0^infty n!2 cdot 5 cdot 8 cdots(3 n+2)

Passo 1

O enunciado pede testar a convergência da série
sumn=0^infty n!2cdot5cdot8cdots(3n+2)
O conteúdo é séries numéricas infinitas e vamos usar o critério da razão para verificar a convergência absoluta.

Passo 2

Definimos o termo geral
an = n!prodk=0^n (3k+2),
e aplicamos o teste da razão, estudando
dfracan+1an.

Passo 3

Calculamos
an+1an = (n+1)!prodk=0^n+1(3k+2);cdot;prodk=0^n(3k+2)n! = n+13(n+1)+2 = n+13n+5

Passo 4

Tomamos o limite quando ntoinfty:
limntoinftyn+13n+5 = 13
Esse valor L=tfrac13 satisfaz L<1.

Passo 5

Pelo critério da razão, como L<1, a série converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

A série converge (convergência absoluta).

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