O enunciado nos pede para testar a convergência da série
O conteúdo é séries numéricas, em particular o critério de Leibniz para séries alternadas e a noção de convergência absoluta.
Passo 2
Identificamos que o termo geral é
ou seja, há alternância de sinais dada pelo fator . Para aplicar o critério de Leibniz, definimos
Passo 3
Verificamos que (an) é decrescente e tende a zero. De fato, para todo n>=1 vale
an+1 = 1n+1 < 1n = an,
e
limntoinftyan = limntoinfty1n = 0
Passo 4
Pelo critério de Leibniz, como (an) é decrescente com limite zero, a série alternada
sumn=1^infty(-1)^n-1an
converge.
Passo 5
Agora testamos a convergência absoluta, analisando
sumn=1^inftyl|unr| = sumn=1^infty1n
Essa é a série harmônica, que diverge.
Passo 6
Como a série converge (pela teste de Leibniz) mas não converge absolutamente (a série dos módulos diverge), concluímos que ela converge condicionalmente.
Resposta
A série converge condicionalmente; ela satisfaz o critério de Leibniz, mas diverge quando tomamos valores absolutos.