Teste a série
sumn=1^infty (-1)^n-1n
quanto a convergência ou divergência.

Passo 1

O enunciado nos pede para testar a convergência da série
sumn=1^infty(-1)^n-1n
O conteúdo é séries numéricas, em particular o critério de Leibniz para séries alternadas e a noção de convergência absoluta.

Passo 2

Identificamos que o termo geral é
un = (-1)^n-1n,
ou seja, há alternância de sinais dada pelo fator (-1)^n-1. Para aplicar o critério de Leibniz, definimos
an = l|unr| = 1n

Passo 3

Verificamos que (an) é decrescente e tende a zero. De fato, para todo n>=1 vale
an+1 = 1n+1 < 1n = an,
e
limntoinftyan = limntoinfty1n = 0

Passo 4

Pelo critério de Leibniz, como (an) é decrescente com limite zero, a série alternada
sumn=1^infty(-1)^n-1an
converge.

Passo 5

Agora testamos a convergência absoluta, analisando
sumn=1^inftyl|unr| = sumn=1^infty1n
Essa é a série harmônica, que diverge.

Passo 6

Como a série converge (pela teste de Leibniz) mas não converge absolutamente (a série dos módulos diverge), concluímos que ela converge condicionalmente.

Resposta

A série converge condicionalmente; ela satisfaz o critério de Leibniz, mas diverge quando tomamos valores absolutos.

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