Utilize o teste da comparação para dizer se as seguintes séries convergem ou divergem.
sumn=1^infty 1+sen(n)10^n

Passo 1

O enunciado pede para determinar, via teste da comparação, se a série
sumn=1^infty 1+sin(n)10^n
converge ou diverge. O conteúdo envolvido é o teste de comparação para séries de termos não negativos e o fato de que séries geométricas com razão menor que 1 convergem.

Passo 2

Observe que, para todo n,
-1 <= sin(n)<= 1
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0 <= 1+sin(n)<= 2
Isso mostra que os termos da nossa série são não negativos e satisfazem
0 ;<=;1+sin(n)10^n;<=;210^n

Passo 3

Considere a série geométrica
sumn=1^infty210^n
Ela tem razão r=tfrac110, com lvert rrvert<1, portanto é convergente.

Passo 4

Como
0 <= 1+sin(n)10^n<= 210^n
e sumn=1^inftytfrac210^n converge, pelo teste da comparação a série original também converge.

Resposta

A série
sumn=1^infty 1+sin(n)10^n
converge.

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