Teste a série quanto a convergência ou divergência.
sumn=2^infty (-1)^n-1raiz[3]ln n

Passo 1

Temos a série sumn=2^infty (-1)^n-1raiz[3]ln n. O conteúdo aqui é séries alternadas e vamos usar o critério de Leibniz.

Passo 2

Identificamos os termos positivos da parte alternada como bn = 1(ln n)^1/3, válidos para n>=2.

Passo 3

Mostramos que bn é decrescente. Definindo f(x)=(ln x)^-1/3 para x>1, sua derivada é
f'(x) = -13,(ln x)^-4/31x < 0,
o que implica decrescimento de bn.

Passo 4

Verificamos que limntoinfty bn = limntoinfty 1(ln n)^1/3 = 0, já que ln ntoinfty.

Passo 5

Pelo critério de Leibniz (série alternada com termos bn decrescentes e tendendo a zero), concluímos que a série converge.

Passo 6

Para verificar convergência absoluta, analisamos sumn=2^infty bn. Aplicando o teste da integral:
integral2^infty dx(ln x)^1/3 = integralln2^infty e^uu^1/3,du = +infty,
o que mostra que sum bn diverge. Portanto a série não é absolutamente convergente, apenas condicionalmente.

Resposta

A série converge condicionalmente pelo critério de Leibniz e diverge quando considerada em valor absoluto.

Exercícios relacionados