Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Passo 1
Temos a série
. O conteúdo aqui é séries alternadas e vamos usar o critério de Leibniz.
Passo 2
Identificamos os termos positivos da parte alternada como
válidos para
.
Passo 3
Mostramos que
é decrescente. Definindo
para
, sua derivada é
o que implica decrescimento de
.
Passo 4
Verificamos que
, já que
.
Passo 5
Pelo critério de Leibniz (série alternada com termos
decrescentes e tendendo a zero), concluímos que a série converge.
Passo 6
Para verificar convergência absoluta, analisamos
. Aplicando o teste da integral:
o que mostra que
diverge. Portanto a série não é absolutamente convergente, apenas condicionalmente.
Resposta
A série converge condicionalmente pelo critério de Leibniz e diverge quando considerada em valor absoluto.