Teste a série quanto a convergência ou divergência.
7. \sum_{n=0}^{\infty} \frac{10^{n}}{n!}

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{10^{n}}{n!}.
O conteúdo principal é análise de séries numéricas e vamos usar o teste da razão para verificar convergência absoluta.

Passo 2

Denotemos o termo geral por
a_n = \frac{10^n}{n!}.

Passo 3

Aplicamos o teste da razão, calculando
L = \lim_{n\to\infty} \biggl|\frac{a_{n+1}}{a_n}\biggr|.

Passo 4

Temos
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{10^{n+1}/(n+1)!}{10^n/n!} = \frac{10}{n+1},
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L = \lim_{n\to\infty} \frac{10}{n+1} = 0.

Passo 5

Como L=0<1, pelo teste da razão a série converge absolutamente. Ademais, reconhecemos que
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{10^{n}}{n!}
é a série de potência que define e^{10}.

Resposta

A série converge absolutamente (e seu valor é e^{10}).

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