Teste a série quanto a convergência ou divergência.
9. \sum_{n=2}^{\infty} \frac{2}{n(\ln n)^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série de termos positivos
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{2}{n(\ln n)^{3}}.
O conteúdo principal aqui é o Teste da Integral (ou alternativamente o Teste de Convergência de Cauchy–Condensação), que exige verificar que a_n=2/[n(\ln n)^3] é positiva e monótona decrescente para n\ge2.

Passo 2

Verificamos que a função contínua
f(x)=\frac{2}{x(\ln x)^{3}}
é positiva para x>1. Para ver que é decrescente, basta notar que seu derivado
f'(x) =-2\frac{(\ln x)^3 +3(\ln x)^2}{x^2(\ln x)^6} <0 \quad\text{para }x>1.
Logo, podemos aplicar o Teste da Integral.

Passo 3

Aplicando o Teste da Integral, consideramos
\int_{2}^{\infty}\frac{2}{x(\ln x)^{3}}\,dx.
Fazendo a substituição u=\ln x, du=dx/x, os limites vão de u=\ln2 até u\to\infty, e a integral torna-se
\int_{\ln2}^{\infty}\frac{2}{u^{3}}\,du =2\biggl[-\frac{1}{2u^{2}}\biggr]_{\ln2}^{\infty} =\frac{1}{(\ln2)^{2}},
que é finita.

Passo 4

Como a integral associada converge, pelo Teste da Integral a série
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{2}{n(\ln n)^{3}}
converge.

Resposta

A série converge.

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