Teste a série quanto a convergência ou divergência.
9.
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Passo 1
O enunciado pede para testar a convergência da série de termos positivos
O conteúdo principal aqui é o Teste da Integral (ou alternativamente o Teste de Convergência de Cauchy–Condensação), que exige verificar que
é positiva e monótona decrescente para
.
Passo 2
Verificamos que a função contínua
é positiva para
. Para ver que é decrescente, basta notar que seu derivado
Logo, podemos aplicar o Teste da Integral.
Passo 3
Aplicando o Teste da Integral, consideramos
Fazendo a substituição
,
, os limites vão de
até
, e a integral torna-se
que é finita.
Passo 4
Como a integral associada converge, pelo Teste da Integral a série
converge.
Resposta
A série converge.