Teste a série quanto a convergência ou divergência.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sen} 2 n}{1+2^{n}}
Passo 1
O enunciado pede para testar a convergência da série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(2n)}{1+2^n}.
O conteúdo aqui é teste de convergência de séries, em especial convergência absoluta e comparação com série geométrica.
Sabemos que a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}
é geométrica de razão 1/2<1, logo converge.
Passo 4
Pelo teste de comparação, como \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\bigl|\frac{\sin(2n)}{1+2^n}\bigr|
converge, a série original converge absolutamente e, portanto, converge.
Resposta
A série converge absolutamente e, consequentemente, converge.