Teste a série quanto a convergência ou divergência.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sen} 2 n}{1+2^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(2n)}{1+2^n}.
O conteúdo aqui é teste de convergência de séries, em especial convergência absoluta e comparação com série geométrica.

Passo 2

Consideramos o valor absoluto do termo geral:
\left|\frac{\sin(2n)}{1+2^n}\right|\le \frac{1}{1+2^n}<\frac{1}{2^n}.

Passo 3

Sabemos que a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}
é geométrica de razão 1/2<1, logo converge.

Passo 4

Pelo teste de comparação, como \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\bigl|\frac{\sin(2n)}{1+2^n}\bigr|
converge, a série original converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

A série converge absolutamente e, consequentemente, converge.

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