Teste a série quanto a convergência ou divergência.
\sum_{n=1}{\infty}(-1){n} \frac{n}{n^{2}+2}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{n}{n^{2}+2}.
O conteúdo é série alternada e convergência absoluta. Vamos usar o critério de Leibniz (série alternada) e, em seguida, testar a série de valores absolutos.

Passo 2

Verificamos primeiro que o termo geral em módulo tende a zero:
a_{n} = \frac{n}{n^{2}+2},
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\lim_{n\to\infty}a_{n} = \lim_{n\to\infty}\frac{n}{n^{2}+2} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n + 2/n} = 0.

Passo 3

Mostramos que a_{n} é monótona decrescente a partir de certo n. Considere a função
f(x)=\frac{x}{x^{2}+2},\quad x>0.
Calculando a derivada,
f'(x) =\frac{(x^{2}+2)-2x^{2}}{(x^{2}+2)^{2}} =\frac{2-x^{2}}{(x^{2}+2)^{2}},
que é negativa para x>\sqrt{2}. Assim, para n\ge2, a_{n+1}<a_{n}. Pelo critério de Leibniz, a série alternada converge.

Passo 4

Para testar convergência absoluta, analisamos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^{2}+2}.
Compare com \sum 1/n. Fazendo comparação limite,
\lim_{n\to\infty}\frac{n/(n^{2}+2)}{1/n} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{n^{2}+2} =1.
Como \sum1/n diverge, segue que \sum n/(n^{2}+2) também diverge. Logo, a série não converge absolutamente.

Resposta

A série converge condicionalmente (converge pelo critério de Leibniz, mas não converge absolutamente).

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