Teste a série quanto a convergência ou divergência.
\sum_{n=1}{\infty}(-1){n} \frac{n}{n^{2}+2}
\sum_{n=1}{\infty}(-1){n} \frac{n}{n^{2}+2}
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
O conteúdo é série alternada e convergência absoluta. Vamos usar o critério de Leibniz (série alternada) e, em seguida, testar a série de valores absolutos.
Passo 2
Verificamos primeiro que o termo geral em módulo tende a zero:
logo
Passo 3
Mostramos que
é monótona decrescente a partir de certo
. Considere a função
Calculando a derivada,
que é negativa para
. Assim, para
,
. Pelo critério de Leibniz, a série alternada converge.
Passo 4
Para testar convergência absoluta, analisamos
Compare com
. Fazendo comparação limite,
Como
diverge, segue que
também diverge. Logo, a série não converge absolutamente.
Resposta
A série converge condicionalmente (converge pelo critério de Leibniz, mas não converge absolutamente).