Teste a série quanto a convergência ou divergência.
\sum_{n-1}{\infty}(-1){n} \frac{n}{n+2}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{n}{n+2}.
Estamos tratando de séries numéricas e, para testar convergência, vamos primeiro usar o teste do termo geral (é necessário que o termo geral tenda a zero) e, caso fosse preciso, poderíamos avaliar o teste de Leibniz para séries alternadas.

Passo 2

O termo geral da série é
a_{n}=(-1)^{n}\,\frac{n}{n+2}.
Para que a série convirja, é necessário que
\lim_{n\to\infty}a_{n}=0.
Calculamos o valor absoluto do termo (já que o sinal alterna, o mais importante é o módulo):
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+2} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+2/n} =1\neq0.
Logo
\lim_{n\to\infty}a_{n}\;\text{não existe como zero (ele oscila entre valores próximos de \(\pm1\))},ãó
ou seja, o termo geral não tende a zero.

Resposta

A série diverge, pois o termo geral não satisfaz a condição necessária de convergência (não tende a zero).

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