Teste a série quanto a convergência ou divergência.
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \sqrt{\ln n}}

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série de termos positivos
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n\sqrt{\ln n}}.
Como os termos são positivos e a função f(x)=1/(x\sqrt{\ln x}) é contínua, positiva e decrescente para x\ge2, vamos usar o Teste da Integral.

Passo 2

Aplicamos o Teste da Integral, que diz que a série \sum_{n=2}^{\infty}a_n converge se, e somente se, a integral imprópria
\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x\sqrt{\ln x}}\,dx
for finita. Para calcular essa integral, fazemos a substituição
t = \ln x, \quad dt = \frac{1}{x}\,dx.
Então
\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x\sqrt{\ln x}}\,dx = \int_{\ln 2}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{t}}\,dt.

Passo 3

A integral
\int_{\ln 2}^{\infty} t^{-\tfrac12}\,dt
é uma integral imprópria básica. Calculamos o antiderivado:
\int t^{-\tfrac12}\,dt = 2\,t^{\tfrac12}.
Logo,
\int_{\ln 2}^{\infty} t^{-\tfrac12}\,dt = \lim_{A\to\infty} \bigl[2\sqrt{t}\bigr]_{t=\ln 2}^{t=A} = \lim_{A\to\infty} \bigl(2\sqrt{A} - 2\sqrt{\ln 2}\bigr) = \infty.
Como a integral diverge, pelo Teste da Integral a série também diverge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\sqrt{\ln n}} dive­rge.

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