Teste a série quanto a convergência ou divergência.
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \sqrt{\ln n}}
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \sqrt{\ln n}}
Passo 1
O enunciado pede para testar a convergência da série de termos positivos
Como os termos são positivos e a função
é contínua, positiva e decrescente para
, vamos usar o Teste da Integral.
Passo 2
Aplicamos o Teste da Integral, que diz que a série
converge se, e somente se, a integral imprópria
for finita. Para calcular essa integral, fazemos a substituição
Então
Passo 3
A integral
é uma integral imprópria básica. Calculamos o antiderivado:
Logo,
Como a integral diverge, pelo Teste da Integral a série também diverge.
Resposta
A série
diverge.