Teste a série quanto a convergência ou divergência.
\sum_{k=1}^{\infty} k^{2} e^{-k}

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
\sum_{k=1}^{\infty} k^{2}e^{-k}.
O conteúdo é séries de termos positivos e vamos usar o teste da razão, que é eficiente quando aparece fator exponencial.

Passo 2

O teste da razão diz que, para a_{k}=k^{2}e^{-k}, se
L=\lim_{k\to\infty}\frac{a_{k+1}}{a_{k}}
satisfaz L<1, então a série \sum a_{k} converge absolutamente.

Passo 3

Calculando a razão entre termos consecutivos:
\frac{a_{k+1}}{a_{k}} =\frac{(k+1)^{2}e^{-(k+1)}}{k^{2}e^{-k}} =\Bigl(\frac{k+1}{k}\Bigr)^{2}e^{-1}.
Tomando o limite quando k\to\infty:
L=\lim_{k\to\infty}\Bigl(\frac{k+1}{k}\Bigr)^{2}e^{-1} =1^{2}\,e^{-1} =e^{-1}<1.

Passo 4

Como L=e^{-1}<1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente. A parte exponencial decai mais rápido que o crescimento polinomial de k^{2}.

Resposta

A série converge absolutamente pelo teste da razão.

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