Teste a série quanto a convergência ou divergência.
\sum_{k=1}^{\infty} k^{2} e^{-k}
\sum_{k=1}^{\infty} k^{2} e^{-k}
Passo 1
O enunciado pede para testar a convergência da série
O conteúdo é séries de termos positivos e vamos usar o teste da razão, que é eficiente quando aparece fator exponencial.
Passo 2
O teste da razão diz que, para
, se
satisfaz
, então a série
converge absolutamente.
Passo 3
Calculando a razão entre termos consecutivos:
Tomando o limite quando
:
Passo 4
Como
, o teste da razão garante que a série converge absolutamente. A parte exponencial decai mais rápido que o crescimento polinomial de
.
Resposta
A série converge absolutamente pelo teste da razão.