Teste a série quanto a convergência ou divergência.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n} n^{2}}{n!}
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n} n^{2}}{n!}
Passo 1
O enunciado nos dá a série
e pede para testar se ela converge ou diverge. Vamos usar o teste da razão de d’Alembert, que consiste em avaliar
para .
para
Passo 2
Definimos
Então
Passo 3
Simplificando a razão, temos
Passo 4
Calculamos o limite da razão quando
:
Como esse limite é menor que 1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente.
Resposta
A série
converge absolutamente (logo, ela converge).