Teste a série quanto a convergência ou divergência.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n} n^{2}}{n!}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^{n}n^{2}}{n!}
e pede para testar se ela converge ou diverge. Vamos usar o teste da razão de d’Alembert, que consiste em avaliar \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}
para a_{n}=\frac{3^{n}n^{2}}{n!}.

Passo 2

Definimos
a_{n}=\frac{3^{n}n^{2}}{n!}.
Então
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{\displaystyle 3^{n+1}(n+1)^{2}/(n+1)!}{\displaystyle 3^{n}n^{2}/n!}.

Passo 3

Simplificando a razão, temos
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{3^{n+1}}{3^{n}} \;\cdot\; \frac{(n+1)^{2}}{n^{2}} \;\cdot\; \frac{n!}{(n+1)!} = 3\;\cdot\;\frac{(n+1)^{2}}{n^{2}}\;\cdot\;\frac{1}{n+1} = 3\,\frac{n+1}{n^{2}}.

Passo 4

Calculamos o limite da razão quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}3\,\frac{n+1}{n^{2}} = 3\lim_{n\to\infty}\Bigl(\frac{n}{n^{2}}+\frac{1}{n^{2}}\Bigr) = 3\lim_{n\to\infty}\Bigl(\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}\Bigr) = 0.
Como esse limite é menor que 1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente.

Resposta

A série \sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^{n}n^{2}}{n!} converge absolutamente (logo, ela converge).

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