Teste a série quanto a convergência ou divergência.
\sum_{n=1}^{\infty} n^{2} e{-n{3}}

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} n^{2} e^{-n^{3}}.
Como os termos são positivos e decaem muito rápido, vamos usar o teste da raiz para verificar convergência absoluta.

Passo 2

No teste da raiz, calculamos a n-ésima raiz do termo geral a_{n}=n^{2}e^{-n^{3}}:
\sqrt[n]{a_{n}} =\sqrt[n]{n^{2}e^{-n^{3}}} =n^{2/n}\,e^{-n^{3}/n} =n^{2/n}\,e^{-n^{2}}.

Passo 3

Agora avaliamos o limite da n-ésima raiz quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}n^{2/n}\,e^{-n^{2}} =\Bigl(\lim_{n\to\infty}n^{2/n}\Bigr)\times\Bigl(\lim_{n\to\infty}e^{-n^{2}}\Bigr).
Sabemos que
\lim_{n\to\infty}n^{2/n}=1 \quad\text{e}\quad \lim_{n\to\infty}e^{-n^{2}}=0,
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\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_{n}}=1\times 0=0<1.
Pelo teste da raiz, a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente.

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