Teste a série quanto a convergência ou divergência.
3. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4^{n}}{3^{2 n-1}}

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos testar a convergência da série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{4^{n}}{3^{2n-1}}.
O conteúdo aqui é séries infinitas e vamos aplicar o teste da série geométrica.

Passo 2

Simplificamos o termo geral da série para evidenciar a forma geométrica:
\frac{4^{n}}{3^{2n-1}} = \frac{4^{n}}{3^{2n}/3} =3\;\frac{4^{n}}{9^{n}} =3\;\Bigl(\tfrac{4}{9}\Bigr)^{n}.

Passo 3

Isso nos mostra uma série geométrica de primeiro termo \,a=3\,(4/9)\,
e razão \,r=\tfrac{4}{9}\,.

Passo 4

Para uma série geométrica, se \lvert r\rvert<1, ela converge e sua soma é
S=\frac{a}{1-r}.
Aqui \lvert r\rvert=\tfrac{4}{9}<1, então converge e
S =\frac{3\,(4/9)}{1-\tfrac{4}{9}} =\frac{12/9}{5/9} =\frac{12}{5}.

Resposta

A série converge e sua soma é \tfrac{12}{5}.

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