TESTES VERDADEIRO-FALSO
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
integral1^2 integral3^4 x^2 e^y d y d x=integral1^2 x^2 d x integral3^4 e^y d y

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a igualdade
integral1^2!integral3^4 x^2e^y,dy,dx =integral1^2x^2,dx;integral3^4e^y,dy
é verdadeira ou falsa. O conteúdo envolvido é o cálculo de integrais iteradas em regiões retangulares e a propriedade de separação de variáveis quando o integrando é um produto de funções cada uma dependendo de uma coordenada.

Passo 2

Note que o integrando x^2e^y é um produto de uma função que depende apenas de x com outra que depende apenas de y, isto é,
x^2e^y = f(x),g(y), f(x)=x^2,;g(y)=e^y

Passo 3

Pelo Teorema de Fubini, quando integramos em um domínio retangular [1,2]times[3,4] uma função de duas variáveis que é contínua (ou integrável) e se pode escrever como produto f(x)g(y), então podemos separar a integral em produto de integrais simples:
integral1^2!integral3^4f(x),g(y),dy,dx =l(integral1^2f(x),dxr),l(integral3^4g(y),dyr)

Passo 4

Aplicando esse resultado ao nosso caso, temos
integral1^2!integral3^4x^2e^y,dy,dx =l(integral1^2x^2,dxr),l(integral3^4e^y,dyr),
ou seja, a igualdade proposta é válida.

Resposta

A afirmação é verdadeira, pois o integrando é separável em x e y e o Teorema de Fubini permite fatorar a integral dupla em produto de integrais simples.

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