TESTES VERDADEIRO-FALSO
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a igualdade
é verdadeira ou falsa. O conteúdo envolvido é o cálculo de integrais iteradas em regiões retangulares e a propriedade de separação de variáveis quando o integrando é um produto de funções cada uma dependendo de uma coordenada.
Passo 2
Note que o integrando
é um produto de uma função que depende apenas de
com outra que depende apenas de
, isto é,
Passo 3
Pelo Teorema de Fubini, quando integramos em um domínio retangular
uma função de duas variáveis que é contínua (ou integrável) e se pode escrever como produto
, então podemos separar a integral em produto de integrais simples:
Passo 4
Aplicando esse resultado ao nosso caso, temos
ou seja, a igualdade proposta é válida.
Resposta
A afirmação é verdadeira, pois o integrando é separável em
e
e o Teorema de Fubini permite fatorar a integral dupla em produto de integrais simples.