V. O teto de uma igreja tem três lustres: um de comprimento 50 cm , outro de comprimento 70 cm e o terceiro de 1,0 \mathrm{~m}. Considere que esses lustres possam ser considerados pêndulos simples. Em dado momento, ocorre um terremoto, com frequência 0,60 \mathrm{~Hz}. Qual dos três lustres oscila mais fortemente?
\begin{array}{lrrr} F_{\text {res. }}=F_{g}-F_{e} & E=\frac{1}{2} k x_{m}^{2} & \frac{T_{1}^{2}}{R_{1}^{3}}=\frac{T_{2}^{2}}{R_{2}^{3}}=\frac{4 \pi^{2}}{G M} & \omega=2 \pi f \\\ x(t)=x_{m} \cos (\omega t+\varphi) & F_{g}=m g & F_{e}=V, \rho_{\text {liquido }} g & \omega=\sqrt{\frac{k}{m}} \\\ \omega=\sqrt{\frac{g}{l}} & p=p_{0}+\rho g h & p_{2}=p_{1}+\rho g h & g=9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} \end{array}

Passo 1

O enunciado dá três lustres que podem ser modelados como pêndulos simples de comprimentos L_1=0{,}50\text{ m}, L_2=0{,}70\text{ m} e L_3=1{,}0\text{ m}. Em certo momento, há um terremoto forçando oscilações com frequência f_{\text{for}}=0{,}60\text{ Hz}. Queremos saber qual pêndulo entra em ressonância (oscila mais fortemente) ao ter sua frequência natural mais próxima de f_{\text{for}}.

Passo 2

A frequência natural de um pêndulo simples é
f_0 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{L}}
onde g=9{,}81\text{ m/s}^2 e L é o comprimento do fio.

Passo 3

Calculando f_0 para cada comprimento:
f_{0,1}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{9{,}81}{0{,}50}}\approx0{,}70\text{ Hz}, \quad f_{0,2}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{9{,}81}{0{,}70}}\approx0{,}60\text{ Hz}, \quad f_{0,3}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{9{,}81}{1{,}0}}\approx0{,}50\text{ Hz}.
A frequência forçada 0{,}60\text{ Hz} coincide praticamente com f_{0,2}, do pêndulo de 0{,}70\text{ m}.

Resposta

O lustre de comprimento 0,70 m oscila mais fortemente.

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