Questão (15 pontos) - Uma placa circular de 3,0 metros de raio apoiada sobre a superfície de um terreno representa um carregamento uniformemente distribuído de
.
Calcule o acréscimo de tensão gerado em um ponto a 4,8 metros de profundidade.
Calcule o acréscimo de tensão gerado em um ponto a 4,8 metros de profundidade.
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais dados temos.
- O enunciado pede: calcular o acréscimo de tensão vertical em um ponto situado a
de profundidade, devido a uma placa circular carregada uniformemente sobre a superfície. - Dados fornecidos:
- Intensidade do carregamento uniformemente distribuído:
. - Raio da placa:
. - Profundidade do ponto onde se quer a tensão:
.
- Intensidade do carregamento uniformemente distribuído:
Observação sobre a imagem: a imagem mostra uma indicação de
que corresponde ao diâmetro da placa; desta indicação, obtém‑se o raio
.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática e intuitiva).
- O que queremos: o acréscimo de tensão vertical
no eixo normal (no centro, abaixo da placa) a uma profundidade . - Para uma região de carregamento uniforme circular de raio
aplicada na superfície, existe uma solução clássica (resultado da integração da solução de Boussinesq para pressão puntual) que dá a tensão vertical no eixo abaixo da placa como:
- O que cada símbolo significa:
-
: intensidade da pressão aplicada uniformemente sobre a placa ( ), -
: raio da placa (m), -
: profundidade do ponto onde se calcula a tensão (m), -
: acréscimo da tensão vertical no ponto (mesma unidade de ).
-
- Intuição rápida: o termo dentro dos colchetes é um fator adimensional entre
e . Para o fator tende a (a tensão na superfície tende a ). Para muito grande o fator tende a (a influência da carga some).
Passo 3
Escolha do método e por que usar esta fórmula.
- O enunciado não pede outro método específico. A solução padrão em mecânica dos solos/elasticidade para placa circular é a fórmula acima (resultado direto da integração da solução de Boussinesq para carregamento distribuído).
- Essa fórmula é a mais simples e direta para obter
sob o centro da placa sem precisar fazer integrais durante a prova.
Passo 4
Calcular a razão adimensional
e seus subresultados.
- Calcular
:
- Calcular
:
- Calcular
:
Passo 5
Avaliar o termo
.
- Primeiro calcule
. - Em seguida calcule
. - Finalmente o inverso:
Passo 6
Calcular o fator de influência e, por fim,
.
- Fator de influência:
- Agora o acréscimo de tensão:
- Checagem rápida: resultado é menor que
(esperado), e positivo (sentido compressão), faz sentido físico.
Passo 7
Interpretação e dica para prova.
- Resultado prático: o ponto a
sofre um acréscimo de tensão de aproximadamente devido à placa de raio carregada com . - Dica de prova: memorize a forma do fator adimensional ou guarde a fórmula da placa circular; ao calcular, trabalhe primeiro com
e suas potências para evitar erros de arredondamento.