3{ }^{\text {a }} Questão (15 pontos) - Uma placa circular de 3,0 metros de raio apoiada sobre a superfície de um terreno representa um carregamento uniformemente distribuído de 280 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{2}.
Calcule o acréscimo de tensão gerado em um ponto a 4,8 metros de profundidade.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais dados temos.
  • O enunciado pede: calcular o acréscimo de tensão vertical em um ponto situado a 4,8\\ \mathrm{m} de profundidade, devido a uma placa circular carregada uniformemente sobre a superfície.
  • Dados fornecidos:
    • Intensidade do carregamento uniformemente distribuído: q = 280\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2.
    • Raio da placa: a = 3{,}0\\ \mathrm{m}.
    • Profundidade do ponto onde se quer a tensão: z = 4{,}8\\ \mathrm{m}.
Observação sobre a imagem: a imagem mostra uma indicação de 6\\ \mathrm{m} que corresponde ao diâmetro da placa; desta indicação, obtém‑se o raio a = 3{,}0\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática e intuitiva).
  • O que queremos: o acréscimo de tensão vertical \Delta\sigma_z no eixo normal (no centro, abaixo da placa) a uma profundidade z.
  • Para uma região de carregamento uniforme circular de raio a aplicada na superfície, existe uma solução clássica (resultado da integração da solução de Boussinesq para pressão puntual) que dá a tensão vertical no eixo abaixo da placa como:
\Delta\sigma_z \;=\; q\;\Biggl[\,1 - \Bigl(1 + \bigl(\tfrac{a}{z}\bigr)^2\Bigr)^{-3/2}\,\Biggr].
  • O que cada símbolo significa:
    • q: intensidade da pressão aplicada uniformemente sobre a placa ( \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2),
    • a: raio da placa (m),
    • z: profundidade do ponto onde se calcula a tensão (m),
    • \Delta\sigma_z: acréscimo da tensão vertical no ponto (mesma unidade de q).
  • Intuição rápida: o termo dentro dos colchetes é um fator adimensional entre 0 e 1. Para z\to 0 o fator tende a 1 (a tensão na superfície tende a q). Para z muito grande o fator tende a 0 (a influência da carga some).

Passo 3

Escolha do método e por que usar esta fórmula.
  • O enunciado não pede outro método específico. A solução padrão em mecânica dos solos/elasticidade para placa circular é a fórmula acima (resultado direto da integração da solução de Boussinesq para carregamento distribuído).
  • Essa fórmula é a mais simples e direta para obter \Delta\sigma_z sob o centro da placa sem precisar fazer integrais durante a prova.

Passo 4

Calcular a razão adimensional \tfrac{a}{z} e seus subresultados.
  • Calcular \tfrac{a}{z}:
\frac{a}{z}=\frac{3{,}0}{4{,}8}=0{,}625.
  • Calcular \bigl(\tfrac{a}{z}\bigr)^2:
\bigl(\tfrac{a}{z}\bigr)^2=(0{,}625)^2=0{,}390625.
  • Calcular 1+\bigl(\tfrac{a}{z}\bigr)^2:
1+\bigl(\tfrac{a}{z}\bigr)^2=1+0{,}390625=1{,}390625.

Passo 5

Avaliar o termo \Bigl(1+\bigl(\tfrac{a}{z}\bigr)^2\Bigr)^{-3/2}.
  • Primeiro calcule \Bigl(1+\bigl(\tfrac{a}{z}\bigr)^2\Bigr)^{1/2}=\sqrt{1{,}390625}\approx 1{,}179248.
  • Em seguida calcule \Bigl(1+\bigl(\tfrac{a}{z}\bigr)^2\Bigr)^{3/2} = 1{,}390625^{1{,}5} = 1{,}390625\cdot 1{,}179248 \approx 1{,}6398925.
  • Finalmente o inverso:
\Bigl(1+\bigl(\tfrac{a}{z}\bigr)^2\Bigr)^{-3/2}\approx \frac{1}{1{,}6398925}\approx 0{,}609673.

Passo 6

Calcular o fator de influência e, por fim, \Delta\sigma_z.
  • Fator de influência:
I_z \;=\; 1 - \Bigl(1+\bigl(\tfrac{a}{z}\bigr)^2\Bigr)^{-3/2} \;\approx\; 1 - 0{,}609673 = 0{,}390327.
  • Agora o acréscimo de tensão:
\Delta\sigma_z \;=\; q\cdot I_z \;=\; 280\cdot 0{,}390327 \approx 109{,}3\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2.
  • Checagem rápida: resultado é menor que q (esperado), e positivo (sentido compressão), faz sentido físico.

Passo 7

Interpretação e dica para prova.
  • Resultado prático: o ponto a 4{,}8\\ \mathrm{m} sofre um acréscimo de tensão de aproximadamente 109{,}3\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2 devido à placa de raio 3{,}0\\ \mathrm{m} carregada com 280\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2.
  • Dica de prova: memorize a forma do fator adimensional ou guarde a fórmula da placa circular; ao calcular, trabalhe primeiro com a/z e suas potências para evitar erros de arredondamento.

Resposta

109{,}3\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2

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