2^{\text {a }} Questāo: (40 pontos) Calcule a derivada de f, onde:
f(x)=\cos (3 x)+\left(x^{2}-3 x+2\right)^{5}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\cos(3x)+\bigl(x^{2}-3x+2\bigr)^{5}.
Vamos usar regras básicas de derivação: a derivada de \cos(u) e a regra da cadeia para composições de funções.

Passo 2

Para derivar \cos(3x), aplicamos a regra da cadeia. Se u(x)=3x, então
\frac{d}{dx}\cos\bigl(u(x)\bigr)=-\sin\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Como u'(x)=3, temos
\frac{d}{dx}\cos(3x)=-3\sin(3x).

Passo 3

Para derivar \bigl(x^{2}-3x+2\bigr)^{5}, usamos também a regra da cadeia. Seja v(x)=x^{2}-3x+2. Então
\frac{d}{dx}\bigl(v(x)\bigr)^{5}=5\bigl(v(x)\bigr)^{4}\cdot v'(x).
Aqui v'(x)=2x-3. Logo,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}-3x+2\bigr)^{5} =5\bigl(x^{2}-3x+2\bigr)^{4}\,(2x-3).

Passo 4

Somando as duas derivadas obtidas pelas regras acima, chegamos à derivada total f'(x).

Resposta

f'(x)=-3\sin(3x)+5\,(2x-3)\,\bigl(x^{2}-3x+2\bigr)^{4}.

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