Determinar o intervalo (ou raio) de convergência da série de potências.
Testar a convergência nos extremos desse intervalo (ou seja, em x=-3 e x=1, que são os pontos equidistantes de -1 com distância igual ao raio).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A série está na forma padrão \sum a_n (x+1)^n.
Os coeficientes a_n contêm o fator 2^{-n}, que geralmente influencia o raio de convergência.
Precisaremos aplicar um teste para séries de potências (por exemplo, o Teste da Razão) para encontrar o raio R, e depois testar convergência nos pontos finais com testes apropriados (Teste de Leibniz/Alternante, comparação ou comparação-limite).
Passo 2
Encontrar o raio de convergência usando o Teste da Razão para séries de potências.
Explicação do Teste da Razão para séries de potências:
Para uma série \sum a_n (x-x_0)^n, se existir o limite
então o raio de convergência é R=\dfrac{1}{L} (com a convenção R=\infty se L=0 e R=0 se L=\infty). Intuição: o teste da razão analisa quão rápido os coeficientes decrescem; para uma série de potências isso dá o raio onde |x-x_0|<R converge.
Calcule \left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|. Como todos os termos são não negativos em a_n, podemos omitir valor absoluto:
Defina b_n=\dfrac{n+1}{(n+5)^2} (positivo). A série fica
\sum_{n=0}^\infty (-1)^n b_n.
Aplicar o Teste de Leibniz (Teste da Série Alternante):
O teste de Leibniz diz que se b_n\ge 0, b_n é monotonicamente decrescente a partir de algum N e \lim_{n\to\infty} b_n=0, então \sum (-1)^n b_n converge (convergência condicional, a menos que a série dos b_n absolutos também convirja).
Verificações:
Limite: \displaystyle\lim_{n\to\infty} b_n=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{(n+5)^2}=0, pois o numerador cresce como n e o denominador como n^2.
Monotonicidade eventual: considere a função contínua f(x)=\dfrac{x+1}{(x+5)^2} para x\ge0. Calcule a derivada para verificar decrescimento:
f'(x)=\frac{3-x}{(x+5)^3}.
Para x\ge 3 temos f'(x)\le0; assim b_n=f(n) é decrescente para n\ge 3. Logo existe N tal que, para todos n\ge N, b_n é decrescente.
Com isso, as condições do Teste de Leibniz são satisfeitas e a série \sum (-1)^n b_n converge.
Verificar convergência absoluta (se necessário):
A série das normas é \sum b_n=\sum \dfrac{n+1}{(n+5)^2}. Para estudar essa série, compare com \dfrac{1}{n}: note que para grandes n,
Como \sum \dfrac{1}{n} diverge (série harmônica), pela comparação-limite \sum b_n também diverge. Portanto a série não converge absolutamente em x=-3, apenas condicionalmente.
Conclusão para x=-3: a série converge condicionalmente (convergência alternante de Leibniz), não converge absolutamente.
Passo 5
Testar o extremo x=1.
Substitua x=1: (x+1)^n=(1+1)^n=2^n. Então os termos gerais tornam-se: