1^{\text {a }} Questão: ( 20 pontos) Encontre o intervalo de convergência da série de potências e teste a convergência nos extremos desse intervalo:
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{(n+5)^{2} 2^{n}}(x+1)^{n}

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências centrada em -1:
\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x+1)^n,\qquad \text{com}\qquad a_n=\frac{n+1}{(n+5)^2 2^{n}}.
O que é pedido:
  • Determinar o intervalo (ou raio) de convergência da série de potências.
  • Testar a convergência nos extremos desse intervalo (ou seja, em x=-3 e x=1, que são os pontos equidistantes de -1 com distância igual ao raio).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A série está na forma padrão \sum a_n (x+1)^n.
  • Os coeficientes a_n contêm o fator 2^{-n}, que geralmente influencia o raio de convergência.
  • Precisaremos aplicar um teste para séries de potências (por exemplo, o Teste da Razão) para encontrar o raio R, e depois testar convergência nos pontos finais com testes apropriados (Teste de Leibniz/Alternante, comparação ou comparação-limite).

Passo 2

Encontrar o raio de convergência usando o Teste da Razão para séries de potências.
Explicação do Teste da Razão para séries de potências:
  • Para uma série \sum a_n (x-x_0)^n, se existir o limite
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|,
então o raio de convergência é R=\dfrac{1}{L} (com a convenção R=\infty se L=0 e R=0 se L=\infty). Intuição: o teste da razão analisa quão rápido os coeficientes decrescem; para uma série de potências isso dá o raio onde |x-x_0|<R converge.
Calcule \left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|. Como todos os termos são não negativos em a_n, podemos omitir valor absoluto:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{n+2}{(n+6)^2 2^{\,n+1}}}{\dfrac{n+1}{(n+5)^2 2^{\,n}}} = \frac{n+2}{n+1}\cdot\frac{(n+5)^2}{(n+6)^2}\cdot\frac{1}{2}.
Agora calcule o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1}{2}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{n+2}{n+1}\cdot\left(\frac{n+5}{n+6}\right)^2 = \frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1=\frac{1}{2}.
Portanto L=\dfrac{1}{2} e o raio de convergência é
R=\frac{1}{L}=2.

Passo 3

Converter o raio em intervalo de convergência centralizado em -1.
  • A série converge, no mínimo, para |x+1|<R, ou seja:
|x+1|<2 \quad\Longleftrightarrow\quad -2<x+1<2 \quad\Longleftrightarrow\quad -3<x<1.
Portanto o intervalo aberto onde a série converge absolutamente é (-3,1). Agora precisamos testar os extremos x=-3 e x=1 separadamente.

Passo 4

Testar o extremo x=-3.
Substitua x=-3 em (x+1)^n: (x+1)^n = (-3+1)^n = (-2)^n. Então os termos gerais passam a ser:
a_n (x+1)^n = \frac{n+1}{(n+5)^2 2^{n}}(-2)^n = (-1)^n\frac{n+1}{(n+5)^2}.
Defina b_n=\dfrac{n+1}{(n+5)^2} (positivo). A série fica
\sum_{n=0}^\infty (-1)^n b_n.
Aplicar o Teste de Leibniz (Teste da Série Alternante):
  • O teste de Leibniz diz que se b_n\ge 0, b_n é monotonicamente decrescente a partir de algum N e \lim_{n\to\infty} b_n=0, então \sum (-1)^n b_n converge (convergência condicional, a menos que a série dos b_n absolutos também convirja).
    Verificações:
  1. Limite: \displaystyle\lim_{n\to\infty} b_n=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{(n+5)^2}=0, pois o numerador cresce como n e o denominador como n^2.
  2. Monotonicidade eventual: considere a função contínua f(x)=\dfrac{x+1}{(x+5)^2} para x\ge0. Calcule a derivada para verificar decrescimento:
f'(x)=\frac{3-x}{(x+5)^3}.
Para x\ge 3 temos f'(x)\le0; assim b_n=f(n) é decrescente para n\ge 3. Logo existe N tal que, para todos n\ge N, b_n é decrescente.
Com isso, as condições do Teste de Leibniz são satisfeitas e a série \sum (-1)^n b_n converge.
Verificar convergência absoluta (se necessário):
  • A série das normas é \sum b_n=\sum \dfrac{n+1}{(n+5)^2}. Para estudar essa série, compare com \dfrac{1}{n}: note que para grandes n,
\frac{n+1}{(n+5)^2}\sim\frac{n}{n^2}=\frac{1}{n}.
Formalmente, use comparação-limite:
\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n+1}{(n+5)^2}}{\frac{1}{n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{n(n+1)}{(n+5)^2}=1.
Como \sum \dfrac{1}{n} diverge (série harmônica), pela comparação-limite \sum b_n também diverge. Portanto a série não converge absolutamente em x=-3, apenas condicionalmente.
Conclusão para x=-3: a série converge condicionalmente (convergência alternante de Leibniz), não converge absolutamente.

Passo 5

Testar o extremo x=1.
Substitua x=1: (x+1)^n=(1+1)^n=2^n. Então os termos gerais tornam-se:
a_n (x+1)^n = \frac{n+1}{(n+5)^2 2^{n}}\cdot 2^n = \frac{n+1}{(n+5)^2}.
Assim a série é
\sum_{n=0}^\infty \frac{n+1}{(n+5)^2},
uma série de termos positivos.
Comparação assintótica com \dfrac{1}{n}:
  • Como usado antes,
\frac{n+1}{(n+5)^2}\sim\frac{1}{n}\qquad(n\to\infty),
logo podemos aplicar o teste da comparação-limite:
\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{n+1}{(n+5)^2}}{\dfrac{1}{n}} =1\quad(\text{valor finito e não nulo}).ã
Como \sum \dfrac{1}{n} diverge, segue que \sum \dfrac{n+1}{(n+5)^2} também diverge. Portanto a série diverge em x=1.

Passo 6

Juntando tudo:
  • Raio R=2 dando intervalo aberto de convergência -3<x<1.
  • Em x=-3 a série converge condicionalmente (alternante, não absolutamente).
  • Em x=1 a série diverge.

Resposta

O intervalo de convergência é \,[-3,1)\,.
Em x=-3: converge condicionalmente (convergência alternante, não absoluta).
Em x=1: diverge (série de termos positivos com comportamento assintótico \sim 1/n).

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