(b) ( 10 pontos) Estude a convergência da série
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
Informações dadas:
- A série é a soma dos termos
com
- A única pergunta é determinar se a série converge ou diverge.
Passo 2
Vou apresentar um teste adequado e explicá-lo com calma.
Teste de comparação em limite (enunciado e ideia):
- Considere duas sequências de termos positivos
e . - Se existir o limite finito e positivo
então as séries
e
têm o mesmo comportamento: ambas convergem ou ambas divergem.
- Intuição rápida: quando o quociente tende a uma constante positiva,
e são assintoticamente proporcionais (crescem/decrescem na mesma ordem).
Vou aplicar esse teste com uma série simples cuja convergência já conhecemos: a série
(série p). Lembrete do critério p-series:
- A série
converge se, e somente se, . - Se
, a série diverge.
Passo 3
Vamos comparar
com uma potência simples de
. Primeiro simplifico
fatorando potências de
do numerador e do denominador de forma explícita.
Escrevo
Fatorando
do numerador e
do argumento do radical do denominador:
Logo
Rearranjando a potência de
:
Passo 4
Agora calculo o limite relativo entre
e
(a série
é uma p-série com
):
Tomando o limite quando
:
Portanto o limite existe e é um número finito e positivo (
). Pelo teste de comparação em limite, as séries
e
têm o mesmo comportamento (convergem juntas ou divergem juntas).
Passo 5
Aplicando o critério p-series à série comparadora
:
- Aqui
, logo a série diverge.
Como
diverge e
tem o mesmo comportamento (Passo 4), conclui-se que
também diverge.
Passo 6
(Fica uma alternativa útil, para guardar na prova: uma comparação direta por desigualdade.)
Para tem-se
, então
Para
Assim, para
,
Isso mostra que
é, a partir de certo ponto, maior do que uma constante positiva vezes
. Como
diverge, a desigualdade direta também implica que
diverge. Essa alternativa dá uma verificação por comparação direta, sem limite.
Resposta
A série diverge.