(b) ( 10 pontos) Estude a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}+1}{\sqrt[3]{n^{8}+n^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}+1}{\sqrt[3]{n^{8}+n^{2}}}.
Informações dadas:
  • A série é a soma dos termos a_n com
a_n=\frac{n^{2}+1}{\sqrt[3]{n^{8}+n^{2}}},\qquad n=1,2,3,\ldots
  • A única pergunta é determinar se a série converge ou diverge.

Passo 2

Vou apresentar um teste adequado e explicá-lo com calma.
Teste de comparação em limite (enunciado e ideia):
  • Considere duas sequências de termos positivos (a_n) e (b_n).
  • Se existir o limite finito e positivo
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}\in(0,\infty),
então as séries \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento: ambas convergem ou ambas divergem.
  • Intuição rápida: quando o quociente tende a uma constante positiva, a_n e b_n são assintoticamente proporcionais (crescem/decrescem na mesma ordem).
Vou aplicar esse teste com uma série simples cuja convergência já conhecemos: a série \sum \dfrac{1}{n^{p}} (série p). Lembrete do critério p-series:
  • A série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{p}} converge se, e somente se, p>1.
  • Se p\le 1, a série diverge.

Passo 3

Vamos comparar a_n com uma potência simples de n. Primeiro simplifico a_n fatorando potências de n do numerador e do denominador de forma explícita.
Escrevo
a_n=\frac{n^{2}+1}{\bigl(n^{8}+n^{2}\bigr)^{1/3}}.
Fatorando n^{2} do numerador e n^{8} do argumento do radical do denominador:
n^{2}+1 = n^{2}\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right), \qquad n^{8}+n^{2}=n^{8}\left(1+\frac{1}{n^{6}}\right).
Logo
a_n=\frac{n^{2}\left(1+\dfrac{1}{n^{2}}\right)}{\bigl(n^{8}\left(1+\dfrac{1}{n^{6}}\right)\bigr)^{1/3}} =\frac{n^{2}\left(1+\dfrac{1}{n^{2}}\right)}{n^{8/3}\left(1+\dfrac{1}{n^{6}}\right)^{1/3}}.
Rearranjando a potência de n:
a_n=n^{2-\tfrac{8}{3}}\cdot\frac{1+\dfrac{1}{n^{2}}}{\left(1+\dfrac{1}{n^{6}}\right)^{1/3}} = n^{-\,\tfrac{2}{3}}\cdot\frac{1+\dfrac{1}{n^{2}}}{\left(1+\dfrac{1}{n^{6}}\right)^{1/3}}.

Passo 4

Agora calculo o limite relativo entre a_n e b_n=\dfrac{1}{n^{2/3}} (a série \sum b_n=\sum \dfrac{1}{n^{2/3}} é uma p-série com p=\tfrac{2}{3}):
\frac{a_n}{b_n} = \frac{n^{-\,\tfrac{2}{3}}\cdot\frac{1+\dfrac{1}{n^{2}}}{\left(1+\dfrac{1}{n^{6}}\right)^{1/3}}}{n^{-\,\tfrac{2}{3}}} =\frac{1+\dfrac{1}{n^{2}}}{\left(1+\dfrac{1}{n^{6}}\right)^{1/3}}.
Tomando o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} =\frac{1+0}{(1+0)^{1/3}}=1.
Portanto o limite existe e é um número finito e positivo ( L=1). Pelo teste de comparação em limite, as séries \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento (convergem juntas ou divergem juntas).

Passo 5

Aplicando o critério p-series à série comparadora \sum b_n=\sum \dfrac{1}{n^{2/3}}:
  • Aqui p=\tfrac{2}{3}\le 1, logo a série \sum \dfrac{1}{n^{2/3}} diverge.
Como \sum b_n diverge e \sum a_n tem o mesmo comportamento (Passo 4), conclui-se que \sum a_n também diverge.

Passo 6

(Fica uma alternativa útil, para guardar na prova: uma comparação direta por desigualdade.)
Para n\ge 1 tem-se n^{8}+n^{2}\le 2n^{8}, então
\sqrt[3]{n^{8}+n^{2}}\le \sqrt[3]{2n^{8}}=2^{1/3}n^{8/3}.
Assim, para n\ge 1,
a_n=\frac{n^{2}+1}{\sqrt[3]{n^{8}+n^{2}}}\ge \frac{n^{2}}{2^{1/3}n^{8/3}}=\frac{1}{2^{1/3}}\,\frac{1}{n^{2/3}}.
Isso mostra que a_n é, a partir de certo ponto, maior do que uma constante positiva vezes 1/n^{2/3}. Como \sum 1/n^{2/3} diverge, a desigualdade direta também implica que \sum a_n diverge. Essa alternativa dá uma verificação por comparação direta, sem limite.

Resposta

A série diverge.

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