3^{\text {a }} Questão: ( 20 pontos) Usando operações elementares, encontre a matriz inversa de
A=\left(\begin{array}{ccc} 2 & -1 & 3 \\\\ 1 & 2 & -1 \\\\ 3 & 1 & 1 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\\\ 1 & 2 & -1 \\\\ 3 & 1 & 1 \end{pmatrix}
e pede: usando operações elementares, encontrar a matriz inversa de A.
Informações relevantes fornecidas:
  • A matriz A é uma matriz 3\times3 com entradas explícitas dadas acima.
  • Deve-se usar operações elementares (ou seja, operações sobre linhas) para obter A^{-1}.

Passo 2

Escolha do método e ideia geral (explicação didática curta).
  • Método: formar a matriz aumentada [A \mid I], onde I é a matriz identidade 3\times3, e aplicar operações elementares sobre as linhas até transformar o bloco esquerdo em I. O bloco direito resultante será A^{-1}.
  • Operações elementares permitidas (o que cada uma faz):
    1. trocar duas linhas: R_i \leftrightarrow R_j.
    2. multiplicar uma linha por um escalar não nulo: R_i \leftarrow \lambda R_i.
    3. somar a um múltiplo de uma linha outra linha: R_i \leftarrow R_i + \lambda R_j.
  • Essas operações correspondem a aplicar matrizes elementares à esquerda de A; como são invertíveis, elas preservam a equivalência e transformam [A\mid I] em [I\mid A^{-1}] ao final.
Vamos então construir a matriz aumentada inicial e começar as operações.

Passo 3

Matriz aumentada inicial:
\bigl[\,A\mid I\,\bigr] = \left[\begin{array}{ccc|ccc} 2 & -1 & 3 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 2 & -1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 3 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]
Para facilitar a eliminação, troco R_1 com R_2 (porque R_2 já tem um 1 na primeira coluna, o que simplifica):
Operação: R_1 \leftrightarrow R_2.
Resultado:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & -1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 2 & -1 & 3 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 3 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]]

Passo 4

Eliminar abaixo do pivô da primeira coluna (usar R_1 para zerar as entradas em coluna 1 de R_2 e R_3).
  • Operação: R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1.
    Cálculo linha a linha:
    R_2 = [2,-1,3\mid 1,0,0] - 2\cdot[1,2,-1\mid 0,1,0] = [0,-5,5\mid 1,-2,0].
  • Operação: R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1.
    Cálculo:
    R_3 = [3,1,1\mid 0,0,1] - 3\cdot[1,2,-1\mid 0,1,0] = [0,-5,4\mid 0,-3,1].
Matriz resultante:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & -1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -5 & 5 & 1 & -2 & 0\\[4pt] 0 & -5 & 4 & 0 & -3 & 1 \end{array}\right]]

Passo 5

Obter pivô igual a 1 na segunda linha, segunda coluna: dividir R_2 por -5.
Operação: R_2 \leftarrow -\dfrac{1}{5}R_2.
Cálculo:
R_2 = [0,-5,5\mid 1,-2,0]\cdot\left(-\dfrac{1}{5}\right) = [0,1,-1\mid -\tfrac{1}{5},\tfrac{2}{5},0].
Matriz:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & -1 & 0 & 1 & 0\\[6pt] 0 & 1 & -1 & -\tfrac{1}{5} & \tfrac{2}{5} & 0\\[6pt] 0 & -5 & 4 & 0 & -3 & 1 \end{array}\right]]

Passo 6

Zerar as outras entradas da coluna 2 usando o pivô em R_2.
  • Para R_1: operação R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2.
    Cálculo:
    R_1 = [1,2,-1\mid 0,1,0] - 2\cdot[0,1,-1\mid -\tfrac{1}{5},\tfrac{2}{5},0] = [1,0,1\mid \tfrac{2}{5},\tfrac{1}{5},0].
  • Para R_3: operação R_3 \leftarrow R_3 + 5R_2 (porque R_3 tem -5 na coluna 2).
    Cálculo:
    R_3 = [0,-5,4\mid 0,-3,1] + 5\cdot[0,1,-1\mid -\tfrac{1}{5},\tfrac{2}{5},0] = [0,0,-1\mid -1,-1,1].
Matriz agora:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & \tfrac{2}{5} & \tfrac{1}{5} & 0\\[6pt] 0 & 1 & -1 & -\tfrac{1}{5} & \tfrac{2}{5} & 0\\[6pt] 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & 1 \end{array}\right]]

Passo 7

Obter pivô 1 na terceira linha: multiplicar R_3 por -1.
Operação: R_3 \leftarrow -R_3.
Cálculo:
R_3 = -[0,0,-1\mid -1,-1,1] = [0,0,1\mid 1,1,-1].
Agora zerar as entradas acima na coluna 3:
  • Para R_1: operação R_1 \leftarrow R_1 - R_3.
    Cálculo:
    R_1 = [1,0,1\mid \tfrac{2}{5},\tfrac{1}{5},0] - [0,0,1\mid 1,1,-1] = [1,0,0\mid -\tfrac{3}{5}, -\tfrac{4}{5}, 1].
  • Para R_2: operação R_2 \leftarrow R_2 + R_3 (pois R_2 tem -1 na coluna 3).
    Cálculo:
    R_2 = [0,1,-1\mid -\tfrac{1}{5},\tfrac{2}{5},0] + [0,0,1\mid 1,1,-1] = [0,1,0\mid \tfrac{4}{5}, \tfrac{7}{5}, -1].
Matriz final (esquerda já é a identidade):
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -\tfrac{3}{5} & -\tfrac{4}{5} & 1\\[6pt] 0 & 1 & 0 & \tfrac{4}{5} & \tfrac{7}{5} & -1\\[6pt] 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & -1 \end{array}\right]]

Passo 8

Interpretação final: temos transformado [A\mid I] em [I\mid B], logo B é a inversa de A. O bloco direito é
B=\begin{pmatrix} -\tfrac{3}{5} & -\tfrac{4}{5} & 1\\[6pt] \tfrac{4}{5} & \tfrac{7}{5} & -1\\[6pt] 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
Podemos checar rapidamente multiplicando A por B para confirmar que dá I (verificação rápida foi feita durante o cálculo).]

Resposta

A^{-1}= \begin{pmatrix} -\tfrac{3}{5} & -\tfrac{4}{5} & 1\\[6pt] \tfrac{4}{5} & \tfrac{7}{5} & -1\\[6pt] 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}]

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