4^{\text {a }} Questão - Um recipiente cilíndrico contém água em equilíbrio estático e uma esfera flutuando com 50% do seu volume submerso na água. A esfera é então retirada, ficando apenas a água no recipiente. Calcule a variação de altura da superfície livre da água devido à retirada da esfera. São dados: \rho (densidade da água), A (área do fundo do recipiente), g (módulo da aceleração da gravidade), M (massa da esfera) e R (raio da esfera). Suponha que a esfera seja pequena o suficiente para caber no recipiente…

Passo 1

O enunciado descreve um cilindro de área de base A contendo água de densidade \rho em que flutua uma esfera de massa M e raio R. Está em equilíbrio estático com 50\% do volume da esfera submerso. Precisamos calcular quanto a altura da água varia quando retiramos a esfera, usando o princípio de Arquimedes (empuxo) e conservação de volume.

Passo 2

Pelo princípio de Arquimedes, o empuxo sobre a esfera equilibra seu peso:
\rho\,g\,V_{\text{submerso}} \;=\; M\,g.
Daí
V_{\text{submerso}} \;=\;\frac{M}{\rho}.

Passo 3

Como somente água permanece no cilindro, ao retirar a esfera o volume que antes era ocupado pela parte submersa da esfera volta a ocupar o líquido, fazendo a superfície descer. A variação de altura \Delta h satisfaz
A\,\Delta h \;=\; V_{\text{submerso}}.

Passo 4

Substituindo V_{\text{submerso}}=M/\rho na relação de volume,
A\,\Delta h \;=\;\frac{M}{\rho} \quad\Longrightarrow\quad \Delta h \;=\;\frac{M}{\rho\,A}.
Como a superfície desce, a variação é negativa em termos de nível, mas seu módulo é \Delta h=M/(\rho A).

Resposta

\Delta h \;=\;\frac{M}{\rho\,A}.

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