Questão ( 1,5 ponto cada item).
Calcule a massa de uma casca de espessura desprezível, que envolve a bola unitária centrada na origem, sabendo a densidade dessa casca é dada por
.
Passo 1
O enunciado pede a massa de uma casca de espessura desprezível que envolve a esfera unitária
, dada a densidade de superfície
. O conteúdo necessário é integral de superfície de uma função escalar sobre a esfera.
Passo 2
Parametrizamos a esfera unitária em coordenadas esféricas, com ângulo polar
medido a partir do eixo
e azimute
:
O elemento de área da superfície vale
Passo 3
Substituindo
e
na integral de superfície, obtemos
Passo 4
Para calcular
fazemos a substituição
, de modo que
. Quando
,
; quando
,
. Logo,
Portanto, recolocando o fator
da integral em
, temos