1^{\text {a }} Questão ( 1,5 ponto cada item).

Calcule a massa de uma casca de espessura desprezível, que envolve a bola unitária centrada na origem, sabendo a densidade dessa casca é dada por \delta(x, y, z)=z^{2}.

Passo 1

O enunciado pede a massa de uma casca de espessura desprezível que envolve a esfera unitária x^2+y^2+z^2=1, dada a densidade de superfície \delta(x,y,z)=z^2. O conteúdo necessário é integral de superfície de uma função escalar sobre a esfera.

Passo 2

Parametrizamos a esfera unitária em coordenadas esféricas, com ângulo polar \varphi medido a partir do eixo z e azimute \theta:
x=\sin\varphi\cos\theta,\quad y=\sin\varphi\sin\theta,\quad z=\cos\varphi
O elemento de área da superfície vale
dS = \sin\varphi \,d\varphi\,d\theta.

Passo 3

Substituindo \delta=z^2=(\cos\varphi)^2 e dS na integral de superfície, obtemos
\text{Massa} =\iint_{S} z^2\,dS =\int_{\theta=0}^{2\pi}\!\!\int_{\varphi=0}^{\pi}(\cos\varphi)^2\;\sin\varphi\;d\varphi\,d\theta.

Passo 4

Para calcular
\int_{0}^{\pi}(\cos\varphi)^2\sin\varphi\,d\varphi,
fazemos a substituição u=\cos\varphi, de modo que du=-\sin\varphi\,d\varphi. Quando \varphi=0, u=1; quando \varphi=\pi, u=-1. Logo,
\int_{0}^{\pi}(\cos\varphi)^2\sin\varphi\,d\varphi =\int_{1}^{-1}u^2(-du) =\int_{-1}^{1}u^2\,du =\left[\frac{u^3}{3}\right]_{-1}^{1} =\frac{1}{3}-\Bigl(-\frac{1}{3}\Bigr) =\frac{2}{3}.
Portanto, recolocando o fator 2\pi da integral em \theta, temos
\text{Massa} =2\pi\cdot\frac{2}{3} =\frac{4\pi}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{4\pi}{3}

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