Considere o campo \mathbf{F}(x, y)=\left(\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}+y\right) \mathbf{i}+\left(\frac{x}{x^{2}+y^{2}}-2 x\right) \mathbf{j}. Se \int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}=-1, onde C é uma curva fechada simples que contorna a origem (0,0) no sentido horário, qual é a área da região delimitada por C ?
e diz que \displaystyle\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=-1,
onde C é uma curva fechada simples que envolve a origem no sentido horário.
Queremos achar a área A da região interior a C.
O conteúdo principal é usar a decomposição do campo em parte singular mais parte com rotor constante, aplicando circulação de um campo singular e o Teorema de Green.
onde r^{2}=x^{2}+y^{2}.
Logo \displaystyle\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
=\int_{C}\mathbf{G}\cdot d\mathbf{r}+\int_{C}\mathbf{H}\cdot d\mathbf{r}.
Passo 3
Para \mathbf{G}(x,y)=(-y/r^{2},x/r^{2}) sabemos que, para uma curva que envolve a origem no sentido anti-horário,