1^{\text {a }} Questão ( 1,5 ponto cada item).

Considere o campo \mathbf{F}(x, y)=\left(\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}+y\right) \mathbf{i}+\left(\frac{x}{x^{2}+y^{2}}-2 x\right) \mathbf{j}. Se \int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}=-1, onde C é uma curva fechada simples que contorna a origem (0,0) no sentido horário, qual é a área da região delimitada por C ?

Passo 1

O enunciado dá o campo
\mathbf{F}(x,y)=\biggl(\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}+y\biggr)\mathbf{i}+\biggl(\frac{x}{x^{2}+y^{2}}-2x\biggr)\mathbf{j}
e diz que \displaystyle\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=-1,
onde C é uma curva fechada simples que envolve a origem no sentido horário.
Queremos achar a área A da região interior a C.
O conteúdo principal é usar a decomposição do campo em parte singular mais parte com rotor constante, aplicando circulação de um campo singular e o Teorema de Green.

Passo 2

Separemos
\mathbf{F}=\underbrace{\bigl(\tfrac{-y}{r^{2}},\tfrac{x}{r^{2}}\bigr)}_{=\mathbf{G}} \;+\;\underbrace{(y,\,-2x)}_{=\mathbf{H}},
onde r^{2}=x^{2}+y^{2}.
Logo \displaystyle\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\int_{C}\mathbf{G}\cdot d\mathbf{r}+\int_{C}\mathbf{H}\cdot d\mathbf{r}.

Passo 3

Para \mathbf{G}(x,y)=(-y/r^{2},x/r^{2}) sabemos que, para uma curva que envolve a origem no sentido anti-horário,
\oint \mathbf{G}\cdot d\mathbf{r}=2\pi.
Como C é no sentido horário, invertemos o sinal:
\int_{C}\mathbf{G}\cdot d\mathbf{r}=-2\pi.

Passo 4

Para \mathbf{H}(x,y)=(y,-2x) o rotor é constante:
\frac{\partial(-2x)}{\partial x}-\frac{\partial y}{\partial y}=-2-1=-3.
Pelo Teorema de Green (orientação positiva ccw),
\oint_{\text{ccw}}\mathbf{H}\cdot d\mathbf{r} =\iint_{D}(-3)\,dA=-3\,A.
Mas C está no sentido horário, logo a circulação muda de sinal:
\int_{C}\mathbf{H}\cdot d\mathbf{r}=+3\,A.

Passo 5

Somando as duas contribuições:
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\bigl(-2\pi\bigr)+\bigl(3A\bigr).
Como isso vale -1, temos
-2\pi+3A=-1 \quad\Longrightarrow\quad 3A=2\pi-1 \quad\Longrightarrow\quad A=\frac{2\pi-1}{3}.

Resposta

A área da região delimitada por C é
\boxed{A=\frac{2\pi-1}{3}}.

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