com \beta_{0}=\omega\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}}.
A pergunta é: qual é a carga (no sentido de carga total que produz esse \mathscr{D}) média no tempo? Listei as informações relevantes:
\mathscr{D} é radial e depende de r e t como dado acima;
\beta_{0} e \omega estão relacionados como dado;
Queremos a média temporal da carga que gera esse \mathscr{D}.
Passo 2
Ligação física necessária (fórmula que usamos): a densidade de carga volumétrica livre \rho(\mathbf{r},t) está dada pela lei de Gauss diferencial para meios lineares:
\nabla\cdot\mathscr{D}=\rho.
Isto significa que, se conseguirmos \nabla\cdot\mathscr{D}, obtemos a densidade de carga local. Para obter a carga total contida numa região V usamos o teorema da divergência:
Explicação curta do porquê: a superfície de uma esfera de raio r tem área 4\pi r^{2}, então o fluxo radial por esfera envolve r^{2}A_{r}; tomar a derivada radial normalizada por r^{2} dá a densidade de fonte por unidade de volume.
No nosso caso A_{r}(r,t)=\dfrac{10^{-9}}{4\pi}\dfrac{1}{r^{2}}\cos(\omega t-\beta_{0}r).
Observação: isto vale para r>0. (Pode haver contribuição singular em r=0 associada à carga pontual/total no origem; trataremos da carga total em seguida.)
Passo 5
Calculemos a carga total contida numa esfera de raio R centrada na origem usando a integral de superfície (teorema da divergência). A superfície é uma esfera de área 4\pi R^{2} e \mathscr{D} é radial, logo
Portanto a carga total dentro de qualquer esfera de raio R é Q(t)=10^{-9}\cos(\omega t-\beta_{0}R). Note que o módulo (amplitude) da carga é 10^{-9} coulombs; o fator de fase -\beta_{0}R aparece por causa do retardo radial do campo. Tomando R\to 0 obtemos a carga no ponto originária: Q_{\text{origem}}(t)=10^{-9}\cos(\omega t).
Passo 6
Agora a média temporal da carga total (por exemplo a carga na origem), definida por período T=\dfrac{2\pi}{\omega}, é
Conclusão interpretativa: apesar de a carga instantânea oscilar com amplitude 10^{-9} C (por exemplo Q_{\text{origem}}(t)=10^{-9}\cos(\omega t) no limite R\to 0), a média no tempo dessa carga é nula — isso é esperado para uma oscilação simétrica sem componente contínua.