The electric flux density in free space produced by an oscillating electric charge placed at the origin is given by
\mathscr{D}=\hat{\mathbf{a}}_{r} \frac{10^{-9}}{4 \pi} \frac{1}{r^{2}} \cos \left(\omega t-\beta_{0} r\right)
where \beta_{0}=\omega \sqrt{\mu_{0} \varepsilon_{0}}. Find the time-average charge that produces this electric flux density.

Passo 1

O enunciado dá o campo de densidade de fluxo elétrico em espaço livre
\mathscr{D}=\hat{\mathbf{a}}_{r}\,\frac{10^{-9}}{4\pi}\,\frac{1}{r^{2}}\cos\!\big(\omega t-\beta_{0}r\big)
com \beta_{0}=\omega\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}}.
A pergunta é: qual é a carga (no sentido de carga total que produz esse \mathscr{D}) média no tempo? Listei as informações relevantes:
  • \mathscr{D} é radial e depende de r e t como dado acima;
  • \beta_{0} e \omega estão relacionados como dado;
  • Queremos a média temporal da carga que gera esse \mathscr{D}.

Passo 2

Ligação física necessária (fórmula que usamos): a densidade de carga volumétrica livre \rho(\mathbf{r},t) está dada pela lei de Gauss diferencial para meios lineares:
\nabla\cdot\mathscr{D}=\rho.
Isto significa que, se conseguirmos \nabla\cdot\mathscr{D}, obtemos a densidade de carga local. Para obter a carga total contida numa região V usamos o teorema da divergência:
Q(t)=\int_{V}\rho\,dV=\int_{V}\nabla\cdot\mathscr{D}\,dV=\oint_{S}\mathscr{D}\cdot d\mathbf{S},
onde S é a superfície que limita V. Vou usar estas duas relações (a diferencial para \rho local e a integral para a carga total).

Passo 3

Para campos puramente radiais (dependendo só de r) a divergência em coordenadas esféricas é simples:
\nabla\cdot\big(A_{r}(r,t)\,\hat{\mathbf{a}}_{r}\big)=\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\big(r^{2}A_{r}(r,t)\big).
Explicação curta do porquê: a superfície de uma esfera de raio r tem área 4\pi r^{2}, então o fluxo radial por esfera envolve r^{2}A_{r}; tomar a derivada radial normalizada por r^{2} dá a densidade de fonte por unidade de volume.
No nosso caso A_{r}(r,t)=\dfrac{10^{-9}}{4\pi}\dfrac{1}{r^{2}}\cos(\omega t-\beta_{0}r).

Passo 4

Calculemos r^{2}A_{r}(r,t) e sua derivada:
r^{2}A_{r}(r,t)=\frac{10^{-9}}{4\pi}\cos\!\big(\omega t-\beta_{0}r\big).
Diferenciando em relação a r:
\frac{\partial}{\partial r}\big(r^{2}A_{r}\big) =\frac{10^{-9}}{4\pi}\frac{\partial}{\partial r}\cos\!\big(\omega t-\beta_{0}r\big) =\frac{10^{-9}}{4\pi}\,\beta_{0}\sin\!\big(\omega t-\beta_{0}r\big),
pois \dfrac{d}{dr}\cos(\omega t-\beta_{0}r) = -\sin(\omega t-\beta_{0}r)\cdot(-\beta_{0})=\beta_{0}\sin(\omega t-\beta_{0}r).
Agora a densidade de carga volumétrica:
\rho(r,t)=\nabla\cdot\mathscr{D} =\frac{1}{r^{2}}\cdot\frac{10^{-9}}{4\pi}\,\beta_{0}\sin\!\big(\omega t-\beta_{0}r\big).
Observação: isto vale para r>0. (Pode haver contribuição singular em r=0 associada à carga pontual/total no origem; trataremos da carga total em seguida.)

Passo 5

Calculemos a carga total contida numa esfera de raio R centrada na origem usando a integral de superfície (teorema da divergência). A superfície é uma esfera de área 4\pi R^{2} e \mathscr{D} é radial, logo
Q(t)=\oint_{S}\mathscr{D}\cdot d\mathbf{S}= \mathscr{D}_{r}(R,t)\,4\pi R^{2}.
Substituindo \mathscr{D}_{r}(R,t)=\dfrac{10^{-9}}{4\pi}\dfrac{1}{R^{2}}\cos(\omega t-\beta_{0}R) vem
Q(t)=\left(\frac{10^{-9}}{4\pi}\frac{1}{R^{2}}\cos(\omega t-\beta_{0}R)\right)4\pi R^{2} =10^{-9}\cos\!\big(\omega t-\beta_{0}R\big).
Portanto a carga total dentro de qualquer esfera de raio R é Q(t)=10^{-9}\cos(\omega t-\beta_{0}R). Note que o módulo (amplitude) da carga é 10^{-9} coulombs; o fator de fase -\beta_{0}R aparece por causa do retardo radial do campo. Tomando R\to 0 obtemos a carga no ponto originária: Q_{\text{origem}}(t)=10^{-9}\cos(\omega t).

Passo 6

Agora a média temporal da carga total (por exemplo a carga na origem), definida por período T=\dfrac{2\pi}{\omega}, é
\overline{Q}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}Q(t)\,dt =\frac{1}{T}\int_{0}^{T}10^{-9}\cos(\omega t-\beta_{0}R)\,dt.
Mas \cos(\omega t-\beta_{0}R) é uma cossenoidal pura; a média de um cosseno ao longo de um período é zero. Formalmente,
\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\cos(\omega t-\beta_{0}R)\,dt=0.
Logo
\overline{Q}=0.

Passo 7

Conclusão interpretativa: apesar de a carga instantânea oscilar com amplitude 10^{-9} C (por exemplo Q_{\text{origem}}(t)=10^{-9}\cos(\omega t) no limite R\to 0), a média no tempo dessa carga é nula — isso é esperado para uma oscilação simétrica sem componente contínua.

Resposta

0\\ \text{C}

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