Thorema 2. Um ponto a é aderente ao conjunto X se, e somente se, toda vizinhança de a contém algum ponto de X.
Passo 1
O enunciado pede que se prove a equivalência entre duas afirmações sobre um ponto a e um conjunto X. Especificamente, mostrar que:
Afirmação A: a é aderente a X.
Afirmação B: toda vizinhança de a contém algum ponto de X.
Informações dadas (apenas o que aparece no enunciado):
Há um ponto a e um conjunto X.
Precisa-se provar a equivalência “A se, e somente se, B”.
Não há outros dados numéricos ou figuras. A resolução seguirá mostrando as duas implicações: \text{A} \Rightarrow \text{B} e \text{B} \Rightarrow \text{A}.
Passo 2
Definições e observações básicas (vai ajudar a entender cada passo da prova).
Definição de ponto aderente: uma forma muito comum de definir " a é aderente a X " é dizer que a pertence ao fecho (ou aderência) de X. Escrevendo isso:
a\\ \text{é aderente a}\\ X \quad\Longleftrightarrow\quad a\in\overline{X},
onde \overline{X} é a interseção de todos os conjuntos fechados que contêm X. Ou seja,
\overline{X}=\bigcap\{F\subseteq Y\mid F \text{ é fechado e } X\subseteq F\},é
onde Y é o espaço ambiente (por exemplo \mathbb{R} com a topologia usual).
Definição de vizinhança: por "vizinhança de a" entendemos aqui qualquer conjunto aberto U que contém a (ou, em definições equivalentes, qualquer conjunto que contenha tal aberto). Para simplificar, vou usar “vizinhança” como "um conjunto aberto U com a\in U".
Também uso estas duas propriedades: o complementar de um conjunto aberto é fechado, e o complementar de um conjunto fechado é aberto. Essas vontades vão aparecer na prova.
Passo 3
Prova da implicação \text{A} \Rightarrow \text{B} (se a é aderente a X, então toda vizinhança de a contém algum ponto de X).
Começo assumindo a hipótese da esquerda: a\in\overline{X}. Quero mostrar que para qualquer vizinhança aberta U com a\in U vale U\cap X\neq\emptyset.
Argumento por contradição (bate bem aqui): suponha que existe uma vizinhança aberta U de a tal que
U\cap X=\emptyset.
Então X\subseteq U^{c}, onde U^{c} é o complementar de U. Mas U é aberto, logo U^{c} é fechado. Assim U^{c} é um conjunto fechado que contém X. Pela definição de fecho, \overline{X} é a interseção de todos os conjuntos fechados que contêm X, logo qualquer ponto do fecho pertence a todos esses fechados. Em particular, se U^{c} contém X então \overline{X}\subseteq U^{c} ou, mais precisamente, deve-se ter \overline{X}\cap U\subseteq\emptyset. Mas isso contradiz o fato de que a\in\overline{X} e a\in U. Em termos simples: a não pode estar simultaneamente em U e em U^{c}.
Portanto a suposição de que existe uma vizinhança U com U\cap X=\emptyset é falsa. Conclui-se que toda vizinhança U de a satisfaz U\cap X\neq\emptyset. Isso prova \text{A} \Rightarrow \text{B}.
Passo 4
Resumo didático do passo anterior (para fixar): a ideia é simples — se a estivesse no fecho de X então não existe um aberto ao redor de a livre de pontos de X; se existisse tal aberto U, então o complementar U^{c} seria um fechado contendo X que não contém a, contradizendo que a pertence a todos os fechados que contêm X.
Passo 5
Prova da implicação \text{B} \Rightarrow \text{A} (se toda vizinhança de a contém algum ponto de X, então a é aderente a X).
Assuma agora a hipótese da direita: para todo aberto U com a\in U temos U\cap X\neq\emptyset. Quero mostrar que a\in\overline{X}, isto é, que a pertence a todo conjunto fechado F que contenha X.
Seja F um conjunto fechado tal que X\subseteq F. Vamos mostrar a\in F. Faço por contradição: suponha que a\notin F. Como F é fechado, o complementar F^{c} é aberto. E como a\notin F, temos a\in F^{c}, isto é, F^{c} é uma vizinhança aberta de a. Pela hipótese F^{c}\cap X\neq\emptyset. Mas isso é impossível, porque X\subseteq F e F\cap F^{c}=\emptyset. Portanto chega-se a uma contradição.
Logo não é possível a\notin F; portanto a\in F. Como F foi um fechado arbitrário que contém X, concluímos que a pertence a todos esses fechados, ou seja a\in\bigcap\{F\mid F \text{ fechado},\\ X\subseteq F\}=\overline{X}. Assim a é aderente a X. Isso prova \text{B} \Rightarrow \text{A}.
Passo 6
Comentário final e exemplos intuitivos para consolidar:
A prova só usou as propriedades básicas de abertos/fechados e a definição do fecho como interseção de fechados que contêm X.
Observação prática: aderência permite que a própria a seja o ponto de X dentro da vizinhança. Se for necessário que toda vizinhança contenha um ponto de X diferente de a, aí estamos falando de ponto de acumulação (ou ponto-limite), que é conceito mais forte.
Exemplo rápido: X=\{0\}\subset\mathbb{R}. O ponto 0 é aderente a X porque toda vizinhança de 0 contém 0. Porém 0 não é ponto de acumulação de X, porque existe vizinhança de 0 (por exemplo o intervalo (-1,1)) que contém nenhum ponto de X diferente de 0.
Força aí — esse teorema é curto e elegante: basicamente diz que o fecho é justamente o conjunto de pontos que não admitem vizinhanças livres de X.
Resposta
a é aderente a X se, e somente se, toda vizinhança de a contém algum ponto de X.