Se a tiazinha um dia tiver meia dúzia de sobrinhos, qual é a probabilidade de serem :
dois homens e quatro mulheres?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Se a tiazinha um dia tiver meia dúzia de sobrinhos, qual é a probabilidade de serem dois homens e quatro mulheres?”
Conteúdo: é um problema de probabilidade discreta, mais precisamente de distribuição binomial.
O que a gente vai precisar:
  • Entender que cada sobrinho é “homem” ou “mulher” com probabilidade ½ (pressuposto de chances iguais);
  • Usar o conceito de combinatória (coeficiente binomial) pra contar de quantas maneiras a gente pode ter exatamente 2 homens em 6 crianças;
  • Aplicar a fórmula da distribuição binomial:
    P(X = k) = p^k (1–p)^(n–k).

Passo 2

Primeiro, a parte de teoria: distribuição binomial.
Quando temos n tentativas independentes (aqui, n = 6 sobrinhos) e cada tentativa tem só dois resultados possíveis (homem ou mulher), com probabilidade p de sucesso (digamos “sucesso” = homem, p = ½) e q = 1–p de “fracasso” (mulher), a probabilidade de obter exatamente k sucessos é:
P(X = k) ;=;binomnk,p^k,(1-p)^,n-k
O (“n escolhe k”) é o número de jeitos de escolher quais k entre os n são sucessos.

Passo 3

Vamos aplicar no caso:
  • n = 6 (seis sobrinhos)
  • k = 2 (queremos 2 homens)
  • p = ½ (chance de cada ser homem)
    Logo:
P(X = 2) = binom62,(½)^2,(½)^6-2½½

Passo 4

Calcular o coeficiente binomial binom62 = 6!2!,(6-2)! = 6times5times4!2times1times4! = 6times52 = 15.
Por definição:

Passo 5

Juntando tudo:
P(X = 2) = 15 times (½)^2 times (½)^4 = 15 times (½)^6½½½
E como P(X = 2) = 1564½, temos:

Resposta

A probabilidade de ter exatamente dois homens e quatro mulheres em seis sobrinhos é .

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