Q5: $A_{3 \times 3}$ é tal que Núcleo $A=\operatorname{span}\{(2,2,0),(-3,0,-2)\}$ e Imagem $A=\operatorname{span}\{(-1,2,3)\}$ . Se $a_{12}=-8$ , calcule a matriz A. Assinale abaixo o valor da entrada $a_{31}$ :
(A) -28
(B) -27
(C) -26
(D) -25
(E) -24
(F) -23
(G) -22
(H) -21

O enunciado diz que

A

é uma matriz

3\times3

com

\ker A=\operatorname{span}\{(2,2,0),(-3,0,-2)\}

\mathrm{Im}\,A=\operatorname{span}\{(-1,2,3)\}

, além de

a_{12}=-8

.
Queremos achar a entrada

a_{31}

Como

\dim\ker A=2

, pelo Teorema da Dimensão temos

\operatorname{rank}A=1

. Então

\mathrm{Im}\,A

tem dimensão 1 e é gerada por

w=(-1,2,3)

. Logo cada coluna de

A

é múltiplo de

w

A = \bigl[c_1w,\;c_2w,\;c_3w\bigr].

Sejam

u=(2,2,0)

v=(-3,0,-2)

. Como

Au=0

Av=0

, temos

Au = 2c_1w + 2c_2w = (2c_1+2c_2)\,w =0 \quad\Longrightarrow\quad c_1 + c_2 = 0,

Av = -3c_1w -2c_3w =(-3c_1-2c_3)\,w =0 \quad\Longrightarrow\quad 3c_1 + 2c_3 = 0.

Como

a_{12}

é a entrada da primeira linha, segunda coluna, temos

a_{12} = c_2\cdot(-1) = -c_2 = -8 \quad\Longrightarrow\quad c_2 = 8.

Logo

c_1 = -c_2 = -8

e de

3c_1+2c_3=0

segue

2c_3 = -3c_1 = 24 \quad\Longrightarrow\quad c_3 = 12.

A primeira coluna de

A

c_1\,w = -8\cdot(-1,2,3) = (8,\,-16,\,-24),

portanto

a_{31} = -24.

-24

(alternativa E)

Q5: A_{3 \times 3} é tal que Núcleo A=\operatorname{span}\{(2,2,0),(-3,0,-2)\} e Imagem A=\operatorname{span}\{(-1,2,3)\}. Se a_{12}=-8, calcule a matriz A. Assinale abaixo o valor da entrada a_{31} : (A) -28 (B) -27 (C) -26 (D) -25 (E) -24 (F) -23 (G) -22 (H) -21