Um titulo de valor nominal R$ 1300,00 foi resgatado antes de seu vencimento, seno por isso bonificado com um desconto racional de 1300,00 foi resgatado antes de seu vencimento, seno por isso bonificado com um desconto racional de . Considerando a taxa de 238,78 a.a, qual foi a antecedencia?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um título (tipo um título de dívida) que vale R$1.300,00. Esse título foi resgatado antes da data que ele iria vencer, e por isso teve um desconto racional de R$238,78. A taxa de juros considerada é de 27% ao ano. Nosso objetivo aqui é descobrir quanto tempo faltava para esse título vencer quando ele foi resgatado, ou seja, qual foi a antecedência.
Vamos precisar usar a fórmula do desconto racional, que é usada para calcular o valor presente de um título descontando os juros correspondentes ao período de antecipação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é desconto racional. No desconto racional, o desconto ( D) é calculado sobre o valor de face ( F) do título, mas considerando os juros que seriam acumulados durante o tempo que falta para o vencimento. A fórmula para o desconto racional é:
D = F times i times t1 + i times t
Onde:
  • D é o desconto
  • F é o valor de face do título
  • i é a taxa de juros por período
  • t é o tempo (em anos)

Passo 3

Vamos organizar os valores que temos:
  • Valor nominal ( F) = R$1.300,00
  • Desconto racional ( 1.300,00 - Desconto racional () = R$238,78
  • Taxa de juros anual ( ) = R) = 27% = 0,27
  • Tempo ( i) = ?
Queremos encontrar t. Vamos substituir esses valores na fórmula do desconto racional:
t

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar t. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por 1 + 0,27t para eliminar o denominador:
238,78 times (1 + 0,27t) = 1300 times 0,27 times t
Distribuindo o 238,78:
238,78 + 238,78 times 0,27t = 351 times t

Passo 5

Vamos simplificar a equação:
238,78 + 64,3566t = 351t
Agora, vamos trazer todos os termos com t para um lado e os termos constantes para o outro:
238,78 = 351t - 64,3566t
238,78 = 286,6434t

Passo 6

Finalmente, vamos isolar t dividindo ambos os lados por 286,6434:
t = 238,78286,6434
t approx 0,832 anos

Resposta

A antecedência foi de aproximadamente 0,832 anos, ou seja, cerca de 10 meses antes do vencimento.

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