Para as TLs dadas, determine núcleo e imagem, a matriz de transformação e, se possível, sua inversa (caso necessário, avalie as condições sob os parâmetros):

Passo 1

O enunciado pede núcleo, imagem, matriz e inversa de F:R^2toR^2 definida por F(x,y)=(alpha x - y,; x + beta y). Esse problema envolve espaço vetorial, aplicação linear, definições de núcleo e imagem, cálculo de determinante de matriz 2×2 e fórmula da inversa de matriz 2×2.

Passo 2

Na base canônica, F(1,0)=(alpha,1) e F(0,1)=(-1,beta). Logo, a matriz de F é A=alpha & -1 1 & beta.

Passo 3

Para o núcleo, resolvemos A(x,y)=(0,0), isto é o sistema alpha x - y = 0,, x + beta y = 0. Da primeira equação y=alpha x. Substituindo na segunda obtém-se x(1+alphabeta)=0. Se 1+alphabetaneq0, então x=0, y=0 e ker(F)=(0,0). Se 1+alphabeta=0, a segunda equação fica redundante e temos ker(F)=span(1,alpha).

Passo 4

A imagem é o span das colunas de A, que são (alpha,1) e (-1,beta). Se det(A)=1+alphabetaneq0, as colunas são linearmente independentes e Im(F)=R^2. Se det(A)=0, ou seja 1+alphabeta=0, nota-se que (-1,beta)=(-1/alpha)(alpha,1) e Im(F)=span(alpha,1).

Passo 5

Para a inversa, usamos a fórmula da inversa de matriz 2×2: se det(A)=1+alphabetaneq0, então A^-1=11+alphabetabeta & 1 -1 & alpha. Caso contrário, A não é invertível.

Resposta

Matriz de F: A=alpha & -1 1 & beta, com det(A)=1+alphabeta. Núcleo: ker(F)=(0,0) se 1+alphabetaneq0, ou ker(F)=span(1,alpha) se 1+alphabeta=0. Imagem: Im(F)=R^2 se 1+alphabetaneq0, ou Im(F)=span(alpha,1) se 1+alphabeta=0. Inversa: A^-1=11+alphabetabeta & 1 -1 & alpha quando 1+alphabetaneq0.

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