Tobias toca uma corda com comprimento
, tensão 150 N e densidade linear de massa
, produzindo um conjunto de ondas estacionárias num violão. (b) Se a amplitude da oscilação da freqüência fundamental no centro da corda é de 2 mm , quais são a máxima velocidade de deslocamento transversal e a máxima aceleração transversal da corda para esta freqüência neste ponto?
Passo 1
Vamos resumir o que o problema está pedindo e identificar os conceitos que vamos usar. Tobias está tocando uma corda de violão que tem 0,7 metros de comprimento, com uma tensão de 150 N e uma densidade linear de massa de 0,030 kg/m. Ele cria ondas estacionárias na corda. Na parte (b) do exercício, queremos descobrir a máxima velocidade de deslocamento transversal e a máxima aceleração transversal da corda no ponto central, dado que a amplitude da oscilação é de 2 mm. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de ondas estacionárias, frequência fundamental, amplitude, velocidade e aceleração em movimentos oscilatórios.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a velocidade da onda na corda. A velocidade da onda $ v $ em uma corda é dada pela fórmula:
onde $ T $ é a tensão na corda e $ \mu $ é a densidade linear de massa.
Passo 3
Substituindo os valores fornecidos no problema:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a frequência fundamental $ f $ da onda estacionária. A frequência fundamental é a menor frequência na qual a corda pode vibrar, e é dada por:
onde $ L $ é o comprimento da corda.
Passo 5
Substituindo os valores:
Passo 6
Em seguida, calculamos a frequência angular $ \omega $, que está relacionada à frequência $ f $ pela fórmula:
Passo 7
Substituindo a frequência que encontramos:
Passo 8
Agora, vamos determinar a máxima velocidade de deslocamento transversal $ v_{max} $. Em movimentos oscilatórios, a máxima velocidade é dada por:
onde $ A $ é a amplitude da oscilação.
Passo 9
A amplitude $ A $ é de 2 mm, que é igual a 0,002 metros. Substituindo os valores:
Passo 10
Por fim, vamos calcular a máxima aceleração transversal $ a_{max} $. A máxima aceleração em movimentos oscilatórios é dada por:
Passo 11
Substituindo os valores:
Resposta
A máxima velocidade de deslocamento transversal da corda no ponto central é aproximadamente 0,635 m/s e a máxima aceleração transversal é aproximadamente 201,5 m/s².