Você foi contratado(a) para projetar o sistema de amortecimento de um carro com 1000 kg de massa. Com carga máxima ( 400 kg adicionais em passageiros e bagagens), o carro deve se abaixar 3,0 cm. (a) Calcule a constante da mola equivalente e a freqüência angular natural de oscilação do carro com carga máxima.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício sobre o sistema de amortecimento de um carro. A gente tem um carro com massa de 1000 kg e, com uma carga máxima adicional de 400 kg (como passageiros e bagagem), o carro precisa se abaixar 3,0 cm. Nosso objetivo aqui é calcular duas coisas:
  1. Constante da mola equivalente (k): Isso nos ajuda a entender quão rígida é a mola que sustenta o carro.
  2. Frequência angular natural de oscilação (ω): Essa é a frequência com que o carro vibraria se fosse perturbado, tipo se você passasse por um buraco na estrada.
Para chegar nesses resultados, vamos precisar usar conceitos de física sobre forças em molas e movimentos oscilatórios.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a constante da mola equivalente (k). A ideia aqui é usar a relação entre a força exercida pela massa adicional e o quanto a mola se comprime.
A fórmula que usamos é:
F = k cdot x
Onde:
  • $ F $ é a força aplicada,
  • $ k $ é a constante da mola,
  • $ x $ é a deformação da mola (quanto ela se comprime ou estica).
Sabemos que a força $ F $ é o peso extra devido à carga, que pode ser calculado por:
F
Onde:
  • $ m = 400 , kg $ (massa adicional),
  • $ g = 9,81 , m/s^2 $ (aceleração da gravidade).
Primeiro, calculamos $ F $:
k
Agora, sabemos que a mola se comprime $ x = 3,0 , cm = 0,03 , m $.
Rearranjando a fórmula para encontrar $ k $:
x
Então, a constante da mola equivalente é 130800 N/m.

Passo 3

Agora, vamos calcular a frequência angular natural de oscilação (ω) do carro com a carga máxima. Para isso, usamos a fórmula da frequência angular para sistemas massa-mola:
omega = raizkm
Onde:
  • $ k $ é a constante da mola que acabamos de calcular,
  • $ m $ é a massa total do carro com a carga.
Primeiro, somamos a massa do carro com a carga:
k
Agora, substituímos os valores na fórmula:
m
mtotal = 1000 , kg + 400 , kg = 1400 , kg
omega = raiz130800 , N/m1400 , kg
Então, a frequência angular natural de oscilação é aproximadamente 9,67 rad/s.

Resposta

A constante da mola equivalente é 130800 N/m e a frequência angular natural de oscilação do carro com carga máxima é aproximadamente 9,67 rad/s.

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