Você foi contratado(a) para projetar o sistema de amortecimento de um carro com 1000 kg de massa. Com carga máxima ( 400 kg adicionais em passageiros e bagagens), o carro deve se abaixar
. (a) Calcule a constante da mola equivalente e a freqüência angular natural de oscilação do carro com carga máxima.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício sobre o sistema de amortecimento de um carro. A gente tem um carro com massa de 1000 kg e, com uma carga máxima adicional de 400 kg (como passageiros e bagagem), o carro precisa se abaixar 3,0 cm. Nosso objetivo aqui é calcular duas coisas:
- Constante da mola equivalente (k): Isso nos ajuda a entender quão rígida é a mola que sustenta o carro.
- Frequência angular natural de oscilação (ω): Essa é a frequência com que o carro vibraria se fosse perturbado, tipo se você passasse por um buraco na estrada.
Para chegar nesses resultados, vamos precisar usar conceitos de física sobre forças em molas e movimentos oscilatórios.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a constante da mola equivalente (k). A ideia aqui é usar a relação entre a força exercida pela massa adicional e o quanto a mola se comprime.
A fórmula que usamos é:
Onde:
- $ F $ é a força aplicada,
- $ k $ é a constante da mola,
- $ x $ é a deformação da mola (quanto ela se comprime ou estica).
Sabemos que a força $ F $ é o peso extra devido à carga, que pode ser calculado por:
Onde:
- $ m = 400 , kg $ (massa adicional),
- $ g = 9,81 , m/s^2 $ (aceleração da gravidade).
Primeiro, calculamos $ F $:
Agora, sabemos que a mola se comprime $ x = 3,0 , cm = 0,03 , m $.
Rearranjando a fórmula para encontrar $ k $:
Então, a constante da mola equivalente é 130800 N/m.
Passo 3
Agora, vamos calcular a frequência angular natural de oscilação (ω) do carro com a carga máxima. Para isso, usamos a fórmula da frequência angular para sistemas massa-mola:
Onde:
- $ k $ é a constante da mola que acabamos de calcular,
- $ m $ é a massa total do carro com a carga.
Primeiro, somamos a massa do carro com a carga:
Agora, substituímos os valores na fórmula:
Então, a frequência angular natural de oscilação é aproximadamente 9,67 rad/s.
Resposta
A constante da mola equivalente é 130800 N/m e a frequência angular natural de oscilação do carro com carga máxima é aproximadamente 9,67 rad/s.