Verifique diretamente (derivando) que:
integral 12 x+3 d x=12 ln (2 x+3)+C

Passo 1

O enunciado pede para verificar que
integral 12x+3,dx = 12ln(2x+3) + C
basta mostrar que, ao derivar
F(x) = 12ln(2x+3) + C,
obtemos tfrac12x+3. Vamos usar a regra da cadeia e a derivada de ln(u).

Passo 2

Calculemos a derivada de F. Primeiro note que
ddxl[ln(2x+3)r]
pela regra da cadeia é
ddxln(2x+3) = 12x+3cdotddx(2x+3) = 12x+3cdot 2 = 22x+3

Passo 3

Agora inclua o fator tfrac12 de F(x):
F'(x) = 12,ddxl[ln(2x+3)r] = 12cdot 22x+3 = 12x+3
Isso coincide precisamente com o integrando.

Resposta

Verificamos que
ddxl(tfrac12ln(2x+3)+Cr)=12x+3,
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integral 12x+3,dx = 12ln(2x+3) + C

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