Para toda matriz A de ordem n, mostre que:
(a) \frac{1}{2}\left(A+A^{t}\right) é sempre simétrica.
(b) \frac{1}{2}\left(A-A^{t}\right) é sempre antissimétrica. Conclua que toda matriz quadrada se escreve de modo único, como uma soma de uma matriz simétrica com uma matriz antissimétrica. Escreva a matriz \left(\begin{array}{cc}3 & 5 \\\\ 7 & 11\end{array}\right) como uma soma de matriz simétrica com uma matriz antissimétrica.
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
(a) Mostrar que \frac{1}{2}\bigl(A+A^{t}\bigr) é sempre simétrica.
(b) Mostrar que \frac{1}{2}\bigl(A-A^{t}\bigr) é sempre antissimétrica (skew-symmetric).
Concluir que toda matriz quadrada se escreve de modo único como soma de uma matriz simétrica com uma matriz antissimétrica.
Finalmente, escrever a matriz
\begin{pmatrix}3 & 5 \\[4pt] 7 & 11\end{pmatrix}
como soma de uma matriz simétrica com uma antissimétrica.
Informações dadas: A é uma matriz arbitrária de ordem n (ou seja, A é n\times n). Não há restrições adicionais.]
Passo 2
Definições e propriedades que usaremos (explicadas de forma elementar):
Uma matriz S é simétrica quando S^{t}=S. Isso significa que o elemento da linha i, coluna j é igual ao elemento da linha j, coluna i.
Uma matriz K é antissimétrica quando K^{t}=-K. Isso significa que o elemento (i,j) é o negativo do elemento (j,i). Em particular, na diagonal (i=j) isso força os elementos diagonais a serem zero, pois k_{ii}=-k_{ii}\Rightarrow k_{ii}=0.
Propriedades do transposto (fáceis de entender entrywise): para quaisquer matrizes X,Y da mesma ordem e escalar \alpha,
Vamos usar essas propriedades para provar (a) e (b).
Passo 3
Prova de (a): mostrar que \displaystyle \frac{1}{2}\bigl(A+A^{t}\bigr) é simétrica.
Calcule o transposto dessa matriz usando linearidade do transposto:
Portanto o transposto coincide com a própria matriz, ou seja, \displaystyle \frac{1}{2}\bigl(A+A^{t}\bigr) é simétrica. (Isso é exatamente a definição de simetria.)
Passo 4
Prova de (b): mostrar que \displaystyle \frac{1}{2}\bigl(A-A^{t}\bigr) é antissimétrica.
Novamente usando propriedades do transposto:
Logo o transposto é o negativo da matriz, que é exatamente a definição de antissimétrica. Observação útil: da mesma expressão segue que os elementos diagonais são zero, porque na diagonal cada entrada satisfaz k_{ii}=-k_{ii}\Rightarrow k_{ii}=0.
Passo 5
Exibir a decomposição e provar que ela é válida e única.
Validade (identidade algébrica): somando as duas matrizes dos itens (a) e (b) obtemos
Portanto toda matriz A escreve-se como soma de uma simétrica \displaystyle S=\frac{1}{2}(A+A^{t}) e uma antissimétrica \displaystyle K=\frac{1}{2}(A-A^{t}).
Unicidade: suponha que exista outra decomposição A=S_{1}+K_{1} com S_{1}^{t}=S_{1} e K_{1}^{t}=-K_{1}. Considere a diferença entre duas possíveis partes simétricas:
M:=S-S_{1}=(K_{1}-K).
O lado esquerdo M é simétrico (diferença de simétricas) e o lado direito é antissimétrico (diferença de antissimétricas). Logo M é simultaneamente simétrico e antissimétrico. Mas se M^{t}=M e também M^{t}=-M então M=-M, ou seja 2M=0, portanto M=0. Concluímos S=S_{1} e, consequentemente, K=K_{1}. Assim a decomposição é única.
Passo 6
Aplicação ao exemplo \displaystyle B=\begin{pmatrix}3 & 5 \\[4pt] 7 & 11\end{pmatrix}.
Primeiro calcule o transposto (a partir da matriz dada, peguei esses números da própria matriz do enunciado):
ou seja, deu certo. Além disso S^{t}=S e K^{t}=-K, como desejado.]
Resposta
\displaystyle \frac{1}{2}\bigl(A+A^{t}\bigr) é simétrica. \displaystyle \frac{1}{2}\bigl(A-A^{t}\bigr) é antissimétrica.
Toda matriz quadrada A escreve-se de modo único como \displaystyle A=\frac{1}{2}(A+A^{t})+\frac{1}{2}(A-A^{t}).
Para \displaystyle \begin{pmatrix}3 & 5 \\[4pt] 7 & 11\end{pmatrix}: