Para toda matriz A de ordem n, mostre que:
(a) \frac{1}{2}\left(A+A^{t}\right) é sempre simétrica.
(b) \frac{1}{2}\left(A-A^{t}\right) é sempre antissimétrica. Conclua que toda matriz quadrada se escreve de modo único, como uma soma de uma matriz simétrica com uma matriz antissimétrica. Escreva a matriz \left(\begin{array}{cc}3 & 5 \\\\ 7 & 11\end{array}\right) como uma soma de matriz simétrica com uma matriz antissimétrica.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
(a) Mostrar que \frac{1}{2}\bigl(A+A^{t}\bigr) é sempre simétrica.
(b) Mostrar que \frac{1}{2}\bigl(A-A^{t}\bigr) é sempre antissimétrica (skew-symmetric).
Concluir que toda matriz quadrada se escreve de modo único como soma de uma matriz simétrica com uma matriz antissimétrica.
Finalmente, escrever a matriz
\begin{pmatrix}3 & 5 \\[4pt] 7 & 11\end{pmatrix}
como soma de uma matriz simétrica com uma antissimétrica.
Informações dadas: A é uma matriz arbitrária de ordem n (ou seja, A é n\times n). Não há restrições adicionais.]

Passo 2

Definições e propriedades que usaremos (explicadas de forma elementar):
  • Uma matriz S é simétrica quando S^{t}=S. Isso significa que o elemento da linha i, coluna j é igual ao elemento da linha j, coluna i.
  • Uma matriz K é antissimétrica quando K^{t}=-K. Isso significa que o elemento (i,j) é o negativo do elemento (j,i). Em particular, na diagonal ( i=j) isso força os elementos diagonais a serem zero, pois k_{ii}=-k_{ii}\Rightarrow k_{ii}=0.
  • Propriedades do transposto (fáceis de entender entrywise): para quaisquer matrizes X,Y da mesma ordem e escalar \alpha,
(X+Y)^{t}=X^{t}+Y^{t},\qquad (\alpha X)^{t}=\alpha X^{t},\qquad (X^{t})^{t}=X.
Vamos usar essas propriedades para provar (a) e (b).

Passo 3

Prova de (a): mostrar que \displaystyle \frac{1}{2}\bigl(A+A^{t}\bigr) é simétrica.
Calcule o transposto dessa matriz usando linearidade do transposto:
\left(\frac{1}{2}\bigl(A+A^{t}\bigr)\right)^{t} =\frac{1}{2}\bigl(A+A^{t}\bigr)^{t} =\frac{1}{2}\bigl(A^{t}+(A^{t})^{t}\bigr).
Como (A^{t})^{t}=A, a expressão fica
\frac{1}{2}\bigl(A^{t}+A\bigr)=\frac{1}{2}\bigl(A+A^{t}\bigr).
Portanto o transposto coincide com a própria matriz, ou seja, \displaystyle \frac{1}{2}\bigl(A+A^{t}\bigr) é simétrica. (Isso é exatamente a definição de simetria.)

Passo 4

Prova de (b): mostrar que \displaystyle \frac{1}{2}\bigl(A-A^{t}\bigr) é antissimétrica.
Novamente usando propriedades do transposto:
\left(\frac{1}{2}\bigl(A-A^{t}\bigr)\right)^{t} =\frac{1}{2}\bigl(A-A^{t}\bigr)^{t} =\frac{1}{2}\bigl(A^{t}-(A^{t})^{t}\bigr).
Como (A^{t})^{t}=A, isto é
\frac{1}{2}\bigl(A^{t}-A\bigr)=-\frac{1}{2}\bigl(A-A^{t}\bigr).
Logo o transposto é o negativo da matriz, que é exatamente a definição de antissimétrica. Observação útil: da mesma expressão segue que os elementos diagonais são zero, porque na diagonal cada entrada satisfaz k_{ii}=-k_{ii}\Rightarrow k_{ii}=0.

Passo 5

Exibir a decomposição e provar que ela é válida e única.
Validade (identidade algébrica): somando as duas matrizes dos itens (a) e (b) obtemos
\frac{1}{2}\bigl(A+A^{t}\bigr)+\frac{1}{2}\bigl(A-A^{t}\bigr) =\frac{1}{2}\bigl((A+A^{t})+(A-A^{t})\bigr) =\frac{1}{2}\bigl(2A\bigr)=A.
Portanto toda matriz A escreve-se como soma de uma simétrica \displaystyle S=\frac{1}{2}(A+A^{t}) e uma antissimétrica \displaystyle K=\frac{1}{2}(A-A^{t}).
Unicidade: suponha que exista outra decomposição A=S_{1}+K_{1} com S_{1}^{t}=S_{1} e K_{1}^{t}=-K_{1}. Considere a diferença entre duas possíveis partes simétricas:
M:=S-S_{1}=(K_{1}-K).
O lado esquerdo M é simétrico (diferença de simétricas) e o lado direito é antissimétrico (diferença de antissimétricas). Logo M é simultaneamente simétrico e antissimétrico. Mas se M^{t}=M e também M^{t}=-M então M=-M, ou seja 2M=0, portanto M=0. Concluímos S=S_{1} e, consequentemente, K=K_{1}. Assim a decomposição é única.

Passo 6

Aplicação ao exemplo \displaystyle B=\begin{pmatrix}3 & 5 \\[4pt] 7 & 11\end{pmatrix}.
Primeiro calcule o transposto (a partir da matriz dada, peguei esses números da própria matriz do enunciado):
B^{t}=\begin{pmatrix}3 & 7 \\[4pt] 5 & 11\end{pmatrix}.
Agora compute a parte simétrica
S=\frac{1}{2}\bigl(B+B^{t}\bigr) =\frac{1}{2}\begin{pmatrix}3+3 & 5+7 \\[4pt] 7+5 & 11+11\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3 & 6 \\[4pt] 6 & 11\end{pmatrix}.
Compute a parte antissimétrica
K=\frac{1}{2}\bigl(B-B^{t}\bigr) =\frac{1}{2}\begin{pmatrix}3-3 & 5-7 \\[4pt] 7-5 & 11-11\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & -1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
Verifique que S+K=B:
\begin{pmatrix}3 & 6 \\[4pt] 6 & 11\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0 & -1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3 & 5 \\[4pt] 7 & 11\end{pmatrix},
ou seja, deu certo. Além disso S^{t}=S e K^{t}=-K, como desejado.]

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\bigl(A+A^{t}\bigr) é simétrica.
\displaystyle \frac{1}{2}\bigl(A-A^{t}\bigr) é antissimétrica.
Toda matriz quadrada A escreve-se de modo único como \displaystyle A=\frac{1}{2}(A+A^{t})+\frac{1}{2}(A-A^{t}).
Para \displaystyle \begin{pmatrix}3 & 5 \\[4pt] 7 & 11\end{pmatrix}:
\displaystyle S=\begin{pmatrix}3 & 6 \\[4pt] 6 & 11\end{pmatrix}, \displaystyle K=\begin{pmatrix}0 & -1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.]

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