Todas as letras que aparecem nos sistemas lineares a seguir representam incógnitas. Calcule o determinante da matriz dos coeficientes de cada um deles, classificando-o em: sistema possível e determinado (SPD), sistema possível e indeterminado (SPI) ou sistema impossível (SI).
\left\{\begin{aligned} 3 x-y & =5 \\\\ -9 x+3 y & =-15\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado fornece um sistema linear com duas equações e duas incógnitas e pede para calcular o determinante da matriz dos coeficientes e classificar o sistema. As informações dadas são:
  • Equações:
\begin{cases} 3x - y = 5,\\[4pt] -9x + 3y = -15. \end{cases}
  • Precisamos:
    • Calcular o determinante da matriz dos coeficientes.
    • Classificar o sistema como SPD (sistema possível e determinado), SPI (sistema possível e indeterminado) ou SI (sistema impossível).]

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes associada ao sistema. Peguei os coeficientes das incógnitas diretamente das equações fornecidas:
A=\begin{pmatrix}3 & -1\\[4pt]-9 & 3\end{pmatrix}.]

Passo 3

Relembre a fórmula do determinante para uma matriz 2\times2. Para
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix},
o determinante é dado por
\det\!\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}=ad-bc.
Aqui a,b,c,d são os elementos da matriz, então é só substituir pelos números da matriz A.]

Passo 4

Aplicando a fórmula ao caso:
\det(A)=3\cdot 3 - (-1)\cdot(-9).
Calcule passo a passo:
3\cdot 3 = 9, \qquad (-1)\cdot(-9)=9,
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\det(A)=9-9=0.

Passo 5

Interpretação do valor do determinante para sistemas lineares:
  • Se \det(A)\neq 0, a matriz é invertível e o sistema é SPD (tem única solução).
  • Se \det(A)=0, as equações são linearmente dependentes e o sistema pode ser SPI (infinitas soluções) ou SI (nenhuma solução). Para decidir entre SPI e SI é preciso checar a consistência das equações (se uma é combinação linear da outra incluindo o termo independente).

Passo 6

Verificamos se as equações são proporcionais incluindo os termos independentes (os lados direitos). Multiplicando a primeira equação por -3 obtemos:
-3(3x - y)= -3\cdot 5
-9x + 3y = -15,
que é exatamente a segunda equação dada (peguei essa igualdade das equações do enunciado). Portanto as duas equações são a mesma reta no plano — são dependentes e consistentes.

Passo 7

Como \det(A)=0 e as equações são consistentes (uma é múltipla da outra), o sistema tem infinitas soluções. Para dar a forma das soluções, reduzimos a representação a uma equação independente, por exemplo a primeira:
3x - y = 5 \quad\Rightarrow\quad y = 3x - 5.
Tomando x como parâmetro livre t\in\mathbb{R}, obtemos a família de soluções
(x,y) = (t,\;3t-5),\qquad t\in\mathbb{R}.

Resposta

\det(A)=0
SPI (sistema possível e indeterminado)

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