TODAS AS OUGSTÓES DEVEM SER JUSTITICADAS.
Resolva as integrais:
integral1^2(ln x+x raizx) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida integral1^2 (ln x + x raizx) , dx. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a integração de funções logarítmicas e polinomiais. Precisamos saber como integrar ln x e x raizx separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes:
integral1^2 ln x , dx + integral1^2 x raizx , dx

Passo 3

Vamos resolver a primeira integral: integral ln x , dx.
Sabemos que a integral de ln x é:
integral ln x , dx = x ln x - x + C
Então, aplicando os limites de 1 a 2:
x ln x - x |1^2 = (2 ln 2 - 2) - (1 ln 1 - 1)
Sabemos que ln 1 = 0, então fica:
2 ln 2 - 2 - (0 - 1) = 2 ln 2 - 2 + 1 = 2 ln 2 - 1

Passo 4

Agora, vamos resolver a segunda integral: integral x raizx , dx.
Primeiro, simplificamos x raizx. Sabemos que raizx = x^1/2, então:
x raizx = x cdot x^1/2 = x^3/2
Agora, integramos x^3/2:
integral x^3/2 , dx = 25 x^5/2 + C
Aplicando os limites de 1 a 2:
25 x^5/2 |1^2 = 25 (2)^5/2 - 25 (1)^5/2
Calculando 2^5/2:
2^5/2 = (2^1/2)^5 = (raiz2)^5 = 4 raiz2
Então:
25 cdot 4 raiz2 - 25 cdot 1 = 8 raiz25 - 25 = 8 raiz2 - 25

Resposta

Somando as duas partes:
2 ln 2 - 1 + 8 raiz2 - 25 = 2 ln 2 - 1 + 8 raiz25 - 25
Simplificando:
2 ln 2 - 75 + 8 raiz25
Portanto, o valor da integral é:
2 ln 2 - 75 + 8 raiz25

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