Todas as respostas devem ter justificativas.
Considere o sistema:
X^prime(t)=[ll -2 & 1 -5 & 4 ] X(t)
Encontre a solução se:
X(0)=[c -1 3 ]

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear de equações diferenciais
X'(t)=A,X(t), A=-2 & 1-5 & 4,
com condição inicial
X(0)=-13
O conteúdo é resolução de sistemas lineares via autovalores e autovetores de A.

Passo 2

Calcular os autovalores de A usando o polinômio característico
det(A-lambda I) =det-2-lambda & 1-5 & 4-lambda =( -2-lambda)(4-lambda)-(-5)cdot1
Expandindo, obtemos
( -2-lambda)(4-lambda)+5 =lambda^2-2lambda-3
Logo, as raízes são
lambda^2-2lambda-3=0 Longrightarrow lambda=2pmraiz4+122 ;=;3,,-1

Passo 3

Para lambda1=3, resolvemos (A-3I)v=0:
-5 & 1-5 & 1v=0 ;Longrightarrow;-5v1+v2=0 ;Longrightarrow;v2=5v1
Um autovetor correspondente é
v^(1)=15
Para lambda2=-1, resolvemos (A+I)v=0:
-1 & 1-5 & 5v=0 ;Longrightarrow;-v1+v2=0 ;Longrightarrow;v2=v1
Um autovetor correspondente é
v^(2)=11

Passo 4

A solução geral do sistema é combinação linear das soluções elementares
X(t) =c1e^3tv^(1)+c2e^-tv^(2) =c1e^3t15 +c2e^-t11

Passo 5

Impondo
Isso gera o sistema
Subtraindo a primeira equação da segunda obtém-se e .

Resposta

X(t) = e^3t15 - 2,e^-t11 = e^3t - 2e^-t [6pt] 5e^3t - 2e^-t ]

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