Todas as respostas devem ter justificativas.
Considere o sistema de equações diferenciais:
Y^prime=[ll 2 & -1 3 & -2 ] Y+[l t t ]
Encontre a solução do sistema homogêneo associado.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema homogêneo associado
Y' = Acdot Y
com
A = 2 & -1 [6pt] 3 & -2
Para resolver sistemas lineares com coeficientes constantes, a ideia é encontrar os autovalores lambda de A e seus autovetores v, e depois montar
Yh(t) = C1 e^lambda1 t v1 + C2 e^lambda2 t v2
]

Passo 2

Vamos achar o polinômio característico de A fazendo
det(A - lambda I) = det!2-lambda & -1 [3pt] 3 & -2-lambda =(2-lambda)(-2-lambda)-(-1)cdot3
Calculando,
(2-lambda)(-2-lambda)=lambda^2-4,
então
det(A-lambda I)=lambda^2-4+3=lambda^2-1=0
Assim, os autovalores são
lambda1=1, lambda2=-1
]

Passo 3

Para resolvemos
A primeira linha dá , logo . Um autovetor correspondente é
]

Passo 4

Para resolvemos
Da primeira linha , ou . Um autovetor é
]

Passo 5

Com autovalores e autovetores, a solução geral do homogêneo é
Yh(t) = C1 e^,lambda1 tv1 + C2 e^,lambda2 tv2 = C1 e^t11 + C2 e^-t13,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

Yh(t) = C1 e^t11 + C2 e^-t13

Exercícios relacionados