Todas as respostas devem ter justificativas.
Encontre a solução em série de potências
(1-x^2) y^prime prime-x y^prime+alpha^2 y=0
onde alpha é uma constante.
Determine duas soluções linearmente independentes em série de potências ao redor de xo=
0 . Encontre a solução para o caso alpha=1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por séries de potências em torno de x0=0, a equação
(1 - x^2),y'' - x,y' + alpha^2,y = 0,
onde alpha é constante, e em particular extrair as duas soluções independentes quando alpha=1.
O método será o de Frobenius: supomos
y(x)=sumn=0^inftyan,x^n+r,
determinaremos o expoente r (equação indicial) e, em seguida, a recorrência entre os an.

Passo 2

Substituindo
y=sumn=0^infty anx^n+r, y'=sumn=0^infty an(n+r)x^n+r-1, y''=sumn=0^infty an(n+r)(n+r-1)x^n+r-2
em
(1-x^2)y''-x,y'+alpha^2y=0,
reagrupamos as potências de x^n+r. O coeficiente geral de x^n+r leva a
an+2,(n+r+2)(n+r+1);+;anl[alpha^2-(n+r)^2r]=0
Para n=0, a parte que multiplica a0 obriga
alpha^2-r^2=0 Longrightarrow r=pmalpha
(chamamos isto de equação indicial).

Passo 3

Logo há duas séries de Frobenius, com exponents r1=+alpha e r2=-alpha. A relação de recorrência geral vale, para cada escolha de r:
boxed an+2 = -,alpha^2 - (n+r)^2(n+r+2)(n+r+1) ;an (n>=0)
Isto gera duas soluções linearmente independentes:
y1(x)=x^+alphasumk=0^inftya2k,x^2k, y2(x)=x^-alphasumk=0^inftyb2k,x^2k

Passo 4

Agora specialize alpha=1.
  1. Para r1=+1, o coeficiente
a2 =-,1 - (0+1)^2(2+1)(2) =0
e por recorrência toda a2k=0 para k>=1. Assim a série reduz-se a
y1(x)=C1,x^1=C1,x
  1. Para r2=-1, a recorrência fica
an+2 =(n-1),(n+1-2)(n+1)(n),an =n-2n+1,an
Como a0 levaria a termo x^-1 que não satisfaz a equação (checa-se separadamente), escolhemos a0=0 e a1=1. Então surgem apenas índices ímpares:
a3=1-22,a1=-tfrac12, a5=3-24,a3=-tfrac18, a7=5-26,a5=-tfrac116,;dots
e a solução regular em x=0 (série em potências inteiras não negativas) é
y2(x) =summ=0^inftya2m+1,x^2m =1 -tfrac12,x^2 -tfrac18,x^4 -tfrac116,x^6 -cdots

Resposta

As duas soluções linearmente independentes em séries de potências para alpha=1 são, a menos de constantes multiplicativas,
boxed y1(x)=x, y2(x)=1 -tfrac12,x^2 -tfrac18,x^4 -tfrac116,x^6 -cdots

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