Todas as respostas devem ter justificativas.
Encontre a solução em série de potências
onde
é uma constante.
Determine duas soluções linearmente independentes em série de potências ao redor de
0 . Encontre a solução para o caso
.
Encontre a solução em série de potências
Determine duas soluções linearmente independentes em série de potências ao redor de
0 . Encontre a solução para o caso
Passo 1
O enunciado pede para resolver, por séries de potências em torno de
, a equação
onde
é constante, e em particular extrair as duas soluções independentes quando
.
O método será o de Frobenius: supomos
O método será o de Frobenius: supomos
determinaremos o expoente
(equação indicial) e, em seguida, a recorrência entre os
.
Passo 2
Substituindo
em
,
reagrupamos as potências de . O coeficiente geral de
leva a
reagrupamos as potências de
Para
, a parte que multiplica
obriga
(chamamos isto de equação indicial).
Passo 3
Logo há duas séries de Frobenius, com exponents
e
. A relação de recorrência geral vale, para cada escolha de
:
Isto gera duas soluções linearmente independentes:
Passo 4
Agora specialize
.
- Para
, o coeficiente
e por recorrência toda
para
. Assim a série reduz-se a
- Para
, a recorrência fica
Como
levaria a termo
que não satisfaz a equação (checa-se separadamente), escolhemos
e
. Então surgem apenas índices ímpares:
e a solução regular em
(série em potências inteiras não negativas) é
Resposta
As duas soluções linearmente independentes em séries de potências para
são, a menos de constantes multiplicativas,