Para todo x in I R, tal que sen x neq cos x, a expressão sen^3 x-cos ^3 xsen x-cos x é idêntica a:
a) tg x
b) sen^2 x-cos ^2 x
c) 1
d) 1+sen x cdot cos x
e) (sen x+cos x)^2

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
sin^3x - cos^3xsin x - cos x
para todo x em R tal que sin x neq cos x.
O conteúdo usado será a fatoração de diferença de cubos e a identidade trigonométrica sin^2x + cos^2x = 1.

Passo 2

Aplicamos a fórmula da diferença de cubos, que diz que
a^3 - b^3 = (a - b)l(a^2 + a,b + b^2r)
Aqui a = sin x e b = cos x, logo
sin^3x - cos^3x = (sin x - cos x)l(sin^2x + sin xcos x + cos^2xr)

Passo 3

Dividindo ambos os lados por sin x - cos x (que é não nulo pelo enunciado), temos
sin^3x - cos^3xsin x - cos x = sin^2x + sin xcos x + cos^2x

Passo 4

Usamos a identidade trigonométrica fundamental sin^2x + cos^2x = 1. Substituindo no resultado, obtemos
sin^2x + sin xcos x + cos^2x = 1 + sin xcos x

Passo 5

Comparando com as alternativas, vemos que a expressão simplificada é
1 + sin xcos x,
que corresponde à letra (d).

Resposta

d) 1 + sin xcdotcos x

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