TODOS OS ITENS DA QUESTÃO 1 DEVEM SER RESOLVIDOS POR ESCALONAMENTO
Classifique e resolva os seguintes sistemas lineares:
r3 x-y+z=0 x+y-2 z=0 5 x-3 y+4 z=0

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear homogêneo em :
O conteúdo principal é escalonamento de matrizes (método de Gauss). Vamos montar a matriz aumentada, aplicar operações elementares de linha para encontrar o posto e, em seguida, parametrizar as soluções.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada do sistema:
[ccc|c 3 & -1 & 1 & 0 1 & 1 & -2 & 0 5 & -3 & 4 & 0 ]
Para facilitar o pivô, trocamos a linha 1 pela linha 2, obtendo
[ccc|c 1 & 1 & -2 & 0 3 & -1 & 1 & 0 5 & -3 & 4 & 0 ]
Em seguida, eliminamos as entradas abaixo do pivô da coluna 1:
R 2 : = R 2 - 3cdotR 1 e R 3 : = R 3 - 5cdotR 1, resultando em
[ccc|c 1 & 1 & -2 & 0 0 & -4 & 7 & 0 0 & -8 & 14 & 0 ]

Passo 3

Agora usamos o pivô -4 em R 2 para zerar a entrada de R 3 na coluna 2:
R 3 : = R 3 - 2cdotR 2, o que dá
[ccc|c 1 & 1 & -2 & 0 0 & -4 & 7 & 0 0 & 0 & 0 & 0 ]

Passo 4

Da forma escalonada vemos que o posto da matriz de coeficientes é 2 (duas linhas não nulas) e há 3 incógnitas. Como posto < #incógnitasó, o sistema é compatível indeterminado, com espaço de soluções de dimensão 3-2=1.

Passo 5

Das equações escalonadas temos
!-4y + 7z = 0, logo
y = 74,z
E da primeira linha
x + y - 2z = 0 Longrightarrow x + 74z - 2z = 0 Longrightarrow x = 14,z
Tomando z = t como parâmetro livre,
x = tfrac14t, y = tfrac74t, z = t
Para evitar frações, podemos definir t = 4s, obtendo
(x,y,z) = (s,,7s,,4s), sinR

Resposta

O sistema é compatível indeterminado e sua solução geral é
(x,y,z) = (s,,7s,,4s), sinR

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