Tome A=\mathbb{R} no exercício anterior. \mathbb{R}^{2}=\mathbb{R} \times \mathbb{R} é um corpo?

Passo 1

O enunciado pergunta se \mathbb{R}^{2}=\mathbb{R}\times\mathbb{R} é um corpo. As informações dadas (implícitas) são: estamos considerando o conjunto \mathbb{R}^{2} com as operações usuais em produto cartesiano (isto é, adição e multiplicação feitas componente a componente). Não há figura nem outra tabela: só o que foi dito. A pergunta a responder é apenas: “é \mathbb{R}^{2} um corpo?”

Passo 2

Vamos lembrar com calma o que significa ser um corpo (definição necessária para responder). Um conjunto F com duas operações (adição e multiplicação) é um corpo se, entre outras propriedades, as seguintes condições valem:
\begin{aligned} &\text{(i) }(F,\,+) \text{ é um grupo abeliano com elemento neutro }0,\\\ &\text{(ii) }(F\setminus\{0\},\cdot) \text{ é um grupo abeliano (ou seja, todo }x\neq0\text{ tem inverso multiplicativo)},\\\ &\text{(iii) a multiplicação é distributiva sobre a adição.} \end{aligned}ééçãéçã
Uma consequência muito útil (que vamos usar) é: em um corpo não existem divisores de zero. Um divisor de zero é um elemento a\neq0 tal que existe b\neq0 com a\cdot b=0. Vou explicar por que um corpo não pode ter divisores de zero no próximo passo.

Passo 3

Prova do fato usado acima: se F é um corpo e a,b\in F satisfazem a\cdot b=0 com a\neq0, então como a tem inverso multiplicativo a^{-1} (porque estamos num corpo), multiplicando a igualdade pela esquerda por a^{-1} obtemos
a^{-1}\cdot(a\cdot b)=(a^{-1}\cdot a)\cdot b = 1\cdot b = b.
Por outro lado, a^{-1}\cdot 0 = 0. Como a^{-1}\cdot(a\cdot b)=a^{-1}\cdot 0, temos b=0. Isso é uma contradição com a hipótese b\neq0. Portanto, em um corpo não existem divisores de zero. Esse é um teste prático: se eu encontrar divisores de zero em uma estrutura, ela não pode ser um corpo.

Passo 4

Agora descrevo explicitamente as operações em \mathbb{R}^2. Para (x_1,y_1),(x_2,y_2)\in\mathbb{R}^2 definimos
(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,\;y_1+y_2),
(x_1,y_1)\cdot(x_2,y_2)=(x_1x_2,\;y_1y_2).
O elemento neutro aditivo é (0,0) e o neutro multiplicativo é (1,1). Essas são as operações “componente a componente” que foram implicitamente assumidas no enunciado.

Passo 5

Vou procurar divisores de zero em \mathbb{R}^2. Considere os elementos (1,0) e (0,1). Calculando o produto componente a componente:
(1,0)\cdot(0,1)=(1\cdot 0,\;0\cdot 1)=(0,0).
Logo (1,0) e (0,1) são tais que o produto é (0,0). Além disso, (1,0)\neq(0,0) e (0,1)\neq(0,0). Portanto existem divisores de zero não nulos em \mathbb{R}^2.

Passo 6

Pelo resultado do Passo 3, a existência de divisores de zero impede que a estrutura seja um corpo. Assim, com o contraexemplo do Passo 5 já é suficiente para concluir que \mathbb{R}^2 não é um corpo. Para reforçar a intuição, uma outra forma direta de ver a falha é tentar inverter (1,0): se (a,b) fosse inverso multiplicativo de (1,0), deveríamos ter
(a,b)\cdot(1,0)=(a\cdot 1,\;b\cdot 0)=(a,0)=(1,1).
Isto exigiria 0=1 na segunda coordenada, o que é impossível. Logo (1,0) não possui inverso em \mathbb{R}^2. Portanto não é verdade que todo elemento não nulo tem inverso multiplicativo.

Passo 7

Conclusão didática: para testar se um produto cartesiano R\times R é corpo, o jeito rápido é tentar achar um elemento com uma coordenada zero (como (1,0)) — esse elemento não terá inverso porque a multiplicação é componente a componente — ou exibir dois vetores não nulos cujo produto seja nulo, mostrando divisores de zero. Assim, estruturas do tipo K\times K (com operação componente a componente) nunca são corpos quando K tem pelo menos dois elementos.

Resposta

Não: \mathbb{R}^2 não é um corpo.

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