Tome
no exercício anterior.
é um corpo?
Passo 1
O enunciado pergunta se
é um corpo. As informações dadas (implícitas) são: estamos considerando o conjunto
com as operações usuais em produto cartesiano (isto é, adição e multiplicação feitas componente a componente). Não há figura nem outra tabela: só o que foi dito. A pergunta a responder é apenas: “é
um corpo?”
Passo 2
Vamos lembrar com calma o que significa ser um corpo (definição necessária para responder). Um conjunto
com duas operações (adição e multiplicação) é um corpo se, entre outras propriedades, as seguintes condições valem:
Uma consequência muito útil (que vamos usar) é: em um corpo não existem divisores de zero. Um divisor de zero é um elemento
tal que existe
com
. Vou explicar por que um corpo não pode ter divisores de zero no próximo passo.
Passo 3
Prova do fato usado acima: se
é um corpo e
satisfazem
com
, então como
tem inverso multiplicativo
(porque estamos num corpo), multiplicando a igualdade pela esquerda por
obtemos
Por outro lado,
. Como
, temos
. Isso é uma contradição com a hipótese
. Portanto, em um corpo não existem divisores de zero. Esse é um teste prático: se eu encontrar divisores de zero em uma estrutura, ela não pode ser um corpo.
Passo 4
Agora descrevo explicitamente as operações em
. Para
definimos
O elemento neutro aditivo é
e o neutro multiplicativo é
. Essas são as operações “componente a componente” que foram implicitamente assumidas no enunciado.
Passo 5
Vou procurar divisores de zero em
. Considere os elementos
e
. Calculando o produto componente a componente:
Logo
e
são tais que o produto é
. Além disso,
e
. Portanto existem divisores de zero não nulos em
.
Passo 6
Pelo resultado do Passo 3, a existência de divisores de zero impede que a estrutura seja um corpo. Assim, com o contraexemplo do Passo 5 já é suficiente para concluir que
não é um corpo. Para reforçar a intuição, uma outra forma direta de ver a falha é tentar inverter
: se
fosse inverso multiplicativo de
, deveríamos ter
Isto exigiria
na segunda coordenada, o que é impossível. Logo
não possui inverso em
. Portanto não é verdade que todo elemento não nulo tem inverso multiplicativo.
Passo 7
Conclusão didática: para testar se um produto cartesiano
é corpo, o jeito rápido é tentar achar um elemento com uma coordenada zero (como
) — esse elemento não terá inverso porque a multiplicação é componente a componente — ou exibir dois vetores não nulos cujo produto seja nulo, mostrando divisores de zero. Assim, estruturas do tipo
(com operação componente a componente) nunca são corpos quando
tem pelo menos dois elementos.
Resposta
Não:
não é um corpo.