Verifique se \varphi(x)=\frac{1}{3-x^{2}} pode ser utilizada no intervalo [0,1] como função de iteração do Método Iterativo Linear. Em caso afirmativo, determine a raiz positiva no intervalo [0,1] com x_{0}=0.5.

Passo 1

O enunciado dá a função de iteração \varphi(x)=\frac{1}{3-x^{2}} e pede duas coisas: (a) verificar se \varphi pode ser usada como função de iteração no intervalo [0,1] para o Método Iterativo Linear (ou seja, se a iteração x_{n+1}=\varphi(x_{n}) converge para uma raiz no intervalo); (b) caso positivo, determinar a raiz positiva em [0,1] começando de x_{0}=0{,}5.\n\nAs informações relevantes que temos do enunciado: \varphi(x)=\dfrac{1}{3-x^{2}}, intervalo [0,1] e ponto inicial x_{0}=0{,}5. A raiz buscada é a solução de x=\varphi(x) (fixpoint), que é equivalente à equação x^{3}-3x+1=0. A resolução começa agora.

Passo 2

Condição básica para usar \varphi como função de iteração (critério de ponto fixo/contração): precisamos verificar duas coisas no intervalo [0,1]:
  1. \varphi envia [0,1] em si mesmo (isto é, \varphi([0,1])\subseteq[0,1]);
  2. existe k\in[0,1) tal que |\varphi'(x)|\le k para todo x\in[0,1] (isto significa que \varphi é uma contração e garante convergência única do método para o ponto fixo).
Vou verificar cada uma dessas condições de forma detalhada.

Passo 3

Verificação de que \varphi([0,1])\subseteq[0,1].
Para x\in[0,1] temos x^{2}\in[0,1]. Então o denominador 3-x^{2} satisfaz
3- x^{2}\in[3-1,\,3-0]=[2,\,3].
Logo
\varphi(x)=\frac{1}{3-x^{2}}\in\left[\frac{1}{3},\,\frac{1}{2}\right].
Como \left[\frac{1}{3},\frac{1}{2}\right]\subset[0,1], segue que \varphi realmente mapeia [0,1] dentro de [0,1]. Primeiro requisito satisfeito.

Passo 4

Cálculo da derivada e verificação da condição de contração.
Calculemos \varphi'(x). Usando regra da cadeia para \varphi(x)=(3-x^{2})^{-1},
\varphi'(x)=\frac{d}{dx}(3-x^{2})^{-1}= \frac{2x}{(3-x^{2})^{2}}.
Para x\in[0,1] temos x\ge0, então |\varphi'(x)|=\varphi'(x)=\dfrac{2x}{(3-x^{2})^{2}}.
Vamos encontrar um majorante (máximo) de \varphi'(x) em [0,1]. Observe que para x\ge0 o numerador 2x cresce com x e o denominador (3-x^{2})^{2} decresce com x, portanto \varphi'(x) é crescente em [0,1]. O máximo ocorre em x=1. Assim
\max_{x\in[0,1]}|\varphi'(x)|=\varphi'(1)=\frac{2\cdot1}{(3-1)^{2}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.
Portanto podemos tomar k=\dfrac{1}{2}<1. Isso mostra que \varphi é uma contração em [0,1] com constante de Lipschitz k=\tfrac{1}{2}. Segundo o Teorema do Ponto Fixo de Banach, existe um único ponto fixo em [0,1] e a iteração x_{n+1}=\varphi(x_{n}) converge para ele, para qualquer x_{0}\in[0,1].
Concluímos: sim, \varphi pode ser utilizada como função de iteração no intervalo [0,1].

Passo 5

Breve aula sobre como executar a iteração e critério de parada (didático).
  • A iteração é dada por \displaystyle x_{n+1}=\varphi(x_{n})=\frac{1}{3-x_{n}^{2}}.
  • Como \varphi é contração com constante k=\tfrac{1}{2}, a convergência é linear: o erro satisfaz
|x_{n}-x^{*}|\le \frac{k}{1-k}\,|x_{n}-x_{n-1}| \quad\text{e também}\quad |x_{n}-x^{*}|\le \frac{k^{n}}{1-k}|x_{1}-x_{0}|.é
Uma forma prática de parar é usar |x_{n+1}-x_{n}|<\text{tol} com uma tolerância, por exemplo \text{tol}=10^{-6}. Como k=\tfrac{1}{2}, o método reduz aproximadamente pela metade o erro a cada iteração, então convergência é rápida o suficiente.

Passo 6

Executando as iterações a partir de x_{0}=0{,}5. Vou calcular alguns termos mostrando como fazer passo a passo (uso frações exatas quando possível, para clareza):
  • x_{0}=0{,}5.
  • x_{1}=\varphi(x_{0})=\dfrac{1}{3-(0{,}5)^{2}}=\dfrac{1}{3-0{,}25}=\dfrac{1}{2{,}75}=\dfrac{4}{11}\approx 0{,}3636363636.
  • x_{2}=\varphi(x_{1})=\dfrac{1}{3-(4/11)^{2}}=\dfrac{1}{3-\tfrac{16}{121}}=\dfrac{1}{\tfrac{347}{121}}=\dfrac{121}{347}\approx 0{,}3487031702.
  • x_{3}=\varphi(x_{2})=\dfrac{1}{3-(121/347)^{2}}=\dfrac{120409}{346586}\approx 0{,}3474144885. (aqui obtivemos a fração exata \dfrac{120409}{346586} fazendo as operações racionais)
A partir daqui faço iterações em decimal até a tolerância 10^{-6}:
  • x_{4}\approx 0{,}3473004313
  • x_{5}\approx 0{,}3472970079
  • x_{6}\approx 0{,}3472964073
  • x_{7}\approx 0{,}3472963796
Note que as diferenças |x_{n+1}-x_{n}| diminuem aproximadamente pela metade a cada passo (por causa de k=\tfrac{1}{2}). Em particular, |x_{7}-x_{6}|\approx 2{,}7\times10^{-8}<10^{-6}, então já temos convergência para 6 casas decimais.

Passo 7

Comentário extra (útil para prova): a raiz fixa x^{*} satisfaz x^{*}=\dfrac{1}{3-(x^{*})^{2}}, que é equivalente a
x^{3}-3x+1=0.
Essa cúbica tem solução explícita em termos de cossenos (forma trigonométrica). Uma das raízes é
x^{*}=2\cos\left(\frac{4\pi}{9}\right)\approx 0{,}3472963553,
que coincide com a solução numérica obtida pela iteração.

Resposta

Sim.
x\approx 0{,}3472963553

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