Verifique se
pode ser utilizada no intervalo
como função de iteração do Método Iterativo Linear. Em caso afirmativo, determine a raiz positiva no intervalo
com
.
Passo 1
O enunciado dá a função de iteração
e pede duas coisas: (a) verificar se
pode ser usada como função de iteração no intervalo
para o Método Iterativo Linear (ou seja, se a iteração
converge para uma raiz no intervalo); (b) caso positivo, determinar a raiz positiva em
começando de
.\n\nAs informações relevantes que temos do enunciado:
, intervalo
e ponto inicial
. A raiz buscada é a solução de
(fixpoint), que é equivalente à equação
. A resolução começa agora.
Passo 2
Condição básica para usar
como função de iteração (critério de ponto fixo/contração): precisamos verificar duas coisas no intervalo
:
-
envia em si mesmo (isto é, ); - existe
tal que para todo (isto significa que é uma contração e garante convergência única do método para o ponto fixo).
Vou verificar cada uma dessas condições de forma detalhada.
Passo 3
Verificação de que
.
Para
temos
. Então o denominador
satisfaz
Logo
Como
, segue que
realmente mapeia
dentro de
. Primeiro requisito satisfeito.
Passo 4
Cálculo da derivada e verificação da condição de contração.
Calculemos
. Usando regra da cadeia para
,
Para
temos
, então
.
Vamos encontrar um majorante (máximo) de
em
. Observe que para
o numerador
cresce com
e o denominador
decresce com
, portanto
é crescente em
. O máximo ocorre em
. Assim
Portanto podemos tomar
. Isso mostra que
é uma contração em
com constante de Lipschitz
. Segundo o Teorema do Ponto Fixo de Banach, existe um único ponto fixo em
e a iteração
converge para ele, para qualquer
.
Concluímos: sim,
pode ser utilizada como função de iteração no intervalo
.
Passo 5
Breve aula sobre como executar a iteração e critério de parada (didático).
- A iteração é dada por
. - Como
é contração com constante , a convergência é linear: o erro satisfaz
Uma forma prática de parar é usar
com uma tolerância, por exemplo
. Como
, o método reduz aproximadamente pela metade o erro a cada iteração, então convergência é rápida o suficiente.
Passo 6
Executando as iterações a partir de
. Vou calcular alguns termos mostrando como fazer passo a passo (uso frações exatas quando possível, para clareza):
-
. -
-
-
(aqui obtivemos a fração exata fazendo as operações racionais)
A partir daqui faço iterações em decimal até a tolerância
:
Note que as diferenças
diminuem aproximadamente pela metade a cada passo (por causa de
). Em particular,
, então já temos convergência para 6 casas decimais.
Passo 7
Comentário extra (útil para prova): a raiz fixa
satisfaz
, que é equivalente a
Essa cúbica tem solução explícita em termos de cossenos (forma trigonométrica). Uma das raízes é
que coincide com a solução numérica obtida pela iteração.
Resposta
Sim.