Questão 3. Considere o sistema linear:
\left\{\begin{array}{l} k x_{1}-2 x_{2} \\\ k x_{1}+7 x_{2}-x_{3}=1 \\\ x_{1}-2 x_{2}+4 x_{3}=1 \end{array}\right.
a) (Valor 1,0 ) Determine os valores de k que garantem a convergência da seqüência de soluções produzidas pelo método de Gauss-Jacobi;
b) (Valor 1,0) Escolha o menor valor inteiro positivo de k que atenda o item anterior e apresente as três primeiras iterações do método de Gauss-Jacobi para o sistema obtido, utilizando x[0]=[0,0,0]^{\top} como estimativa inicial e com arredondamento para 3 casas decimais.

Passo 1

Enunciado e o que se pede. O sistema dado no enunciado aparece com a primeira equação sem o lado direito (possível erro de digitação). Vou assumir que a primeira equação tem o mesmo termo independente que as outras duas, isto é, que o sistema é
\begin{cases} k x_{1} - 2 x_{2} = 1,\\[4pt] k x_{1} + 7 x_{2} - x_{3} = 1,\\[4pt] x_{1} - 2 x_{2} + 4 x_{3} = 1. \end{cases}
Estou indicando essa hipótese porque as outras duas equações têm termo independente 1; não tenho certeza absoluta, mas seguirei com essa formulação para resolver a questão sem lhe pedir confirmação.
O que o enunciado pede:
a) Determinar os valores de k que garantem a convergência da sequência de soluções produzidas pelo método de Gauss–Jacobi.
b) Escolher o menor valor inteiro positivo de k que satisfaça (a) e, para esse k, apresentar as três primeiras iterações do método de Gauss–Jacobi usando \,x^{(0)}=[0,0,0]^{\top}\, e arredondamento para 3 casas decimais.]

Passo 2

O método de Gauss–Jacobi (explicação didática).
Dado um sistema linear \,A x=b,) escrevemos A=D+L+U onde D é a matriz diagonal, L é a parte estritamente triangular inferior e U é a parte estritamente triangular superior. A fórmula de iteração do Jacobi é
x^{(t+1)} = D^{-1}\bigl(b - (L+U)x^{(t)}\bigr).
Definimos a matriz de iteração
B_{J} = -D^{-1}(L+U),
de modo que
x^{(t+1)} = B_{J}\,x^{(t)} + D^{-1}b.
Critério de convergência (conceito importante): a iteração converge para a solução para qualquer x^{(0)} se, e somente se, o raio espectral \rho(B_{J})<1. Porém, calcular \rho(B_{J}) pode ser trabalhoso. Uma condição prática e suficiente (não necessária) que garante \rho(B_{J})<1 é que A seja estritamente diagonalmente dominante por linhas, isto é, para cada linha i
|a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}|.
Se essa desigualdade vale para todas as linhas, então o método de Jacobi converge para qualquer x^{(0)}. Vou usar essa condição suficiente para garantir convergência, pois é simples, elementar e costuma ser pedida em provas.

Passo 3

Escrever a matriz dos coeficientes e extrair D,L,U. A matriz dos coeficientes (assumindo o RHS como acima) é
A=\begin{pmatrix} k & -2 & 0\\[4pt] k & 7 & -1\\[4pt] 1 & -2 & 4 \end{pmatrix}.
Então
D=\begin{pmatrix}k&0&0\\[4pt]0&7&0\\[4pt]0&0&4\end{pmatrix},\qquad L=\begin{pmatrix}0&0&0\\[4pt]k&0&0\\[4pt]1&-2&0\end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix}0&-2&0\\[4pt]0&0&-1\\[4pt]0&0&0\end{pmatrix}.]

Passo 4

Aplicar a condição de estrita diagonal dominância por linhas. Para cada linha i calculamos |a_{ii}| e a soma dos módulos dos outros coeficientes da linha:
Linha 1: |a_{11}|=|k|. Soma dos outros módulos: |-2|+|0|=2. A condição pede
|k|>2.
Linha 2: |a_{22}|=7. Soma dos outros módulos: |k|+|-1|=|k|+1. A condição pede
7>|k|+1\quad\Longrightarrow\quad |k|<6.
Linha 3: |a_{33}|=4. Soma dos outros módulos: |1|+|-2|=1+2=3. A condição pede
4>3,
que já é verdadeira (linha 3 satisfaz sempre).
Agora combinamos as duas desigualdades não-triviais:
|k|>2\quad\text{e}\quad |k|<6 \quad\Longrightarrow\quad 2<|k|<6.
Portanto, a condição suficiente de estrita diagonal dominância nos dá
k\in(-6,-2)\cup(2,6).
Isto garante convergência do método de Gauss–Jacobi para qualquer x^{(0)}.

Passo 5

Interpretando o resultado para k inteiro positivo (parte b): os inteiros positivos k que satisfazem 2<k<6 são k=3,4,5. O menor inteiro positivo que atende (a) é
k=3.

Passo 6

Preparar o sistema para k=3\) e obter as fórmulas iterativas componente a componente (mostrando como fazer na prova). Substituindo \(k=3\) no sistema: \[\begin{cases} 3 x_{1} - 2 x_{2} = 1,\\[4pt] 3 x_{1} + 7 x_{2} - x_{3} = 1,\\[4pt] x_{1} - 2 x_{2} + 4 x_{3} = 1. \end{cases}
Isolamos cada variável usando apenas o coeficiente diagonal (passo padrão do Jacobi):
x_{1} = \frac{1 + 2 x_{2}}{3}, \qquad x_{2} = \frac{1 - 3 x_{1} + x_{3}}{7}, \qquad x_{3} = \frac{1 - x_{1} + 2 x_{2}}{4}.
No método de Jacobi, cada nova componente usa apenas os valores da iteração anterior (x^{(t)}] na mão direita.]

Passo 7

Executar as iterações com x^{(0)}=[0,0,0]^{\top} e arredondamento para 3 casas decimais em cada componente a cada iteração (procedimento prático para a prova).
Iteração 1 (usar x^{(0)}):
x_{1}^{(1)}=\frac{1+2\cdot 0}{3}=\frac{1}{3}=0{,}333333\ldots \rightarrow 0{,}333,
x_{2}^{(1)}=\frac{1-3\cdot 0+0}{7}=\frac{1}{7}=0{,}142857\ldots \rightarrow 0{,}143,
x_{3}^{(1)}=\frac{1-0+2\cdot 0}{4}=\frac{1}{4}=0{,}25 \rightarrow 0{,}250.
Portanto
x^{(1)} \approx \begin{pmatrix}0{,}333\\[2pt]0{,}143\\[2pt]0{,}250\end{pmatrix}.]

Passo 8

Iteração 2 (usar x^{(1)} arredondado componente a componente):
Calcule x_{1}^{(2)}:
x_{1}^{(2)}=\frac{1+2\cdot 0{,}143}{3}=\frac{1+0{,}286}{3}=\frac{1{,}286}{3}=0{,}428666\ldots \rightarrow 0{,}429.
Calcule x_{2}^{(2)}:
x_{2}^{(2)}=\frac{1-3\cdot 0{,}333 + 0{,}250}{7}=\frac{1-0{,}999+0{,}250}{7}=\frac{0{,}251}{7}=0{,}035857\ldots \rightarrow 0{,}036.
Calcule x_{3}^{(2)}:
x_{3}^{(2)}=\frac{1-0{,}333 + 2\cdot 0{,}143}{4}=\frac{1-0{,}333+0{,}286}{4}=\frac{0{,}953}{4}=0{,}23825\ldots \rightarrow 0{,}238.
Portanto
x^{(2)} \approx \begin{pmatrix}0{,}429\\[2pt]0{,}036\\[2pt]0{,}238\end{pmatrix}.]

Passo 9

Iteração 3 (usar x^{(2)} arredondado):
Calcule x_{1}^{(3)}:
x_{1}^{(3)}=\frac{1+2\cdot 0{,}036}{3}=\frac{1+0{,}072}{3}=\frac{1{,}072}{3}=0{,}357333\ldots \rightarrow 0{,}357.
Calcule x_{2}^{(3)}:
x_{2}^{(3)}=\frac{1-3\cdot 0{,}429 + 0{,}238}{7}=\frac{1-1{,}287+0{,}238}{7}=\frac{-0{,}049}{7}=-0{,}0070\ldots \rightarrow -0{,}007.
Calcule x_{3}^{(3)}:
x_{3}^{(3)}=\frac{1-0{,}429 + 2\cdot 0{,}036}{4}=\frac{1-0{,}429+0{,}072}{4}=\frac{0{,}643}{4}=0{,}16075\ldots \rightarrow 0{,}161.
Portanto
x^{(3)} \approx \begin{pmatrix}0{,}357\\[2pt]-0{,}007\\[2pt]0{,}161\end{pmatrix}.]

Resposta

a) \,k\in(-6,-2)\cup(2,6), ou seja, 2<|k|<6 (condição suficiente de estrita diagonal dominância que garante convergência do método de Gauss–Jacobi).\n
b) Menor inteiro positivo: \;k=3.\n
Primeiras três iterações com x^{(0)}=[0,0,0]^{\top} (arredondadas para 3 casas decimais):\n
\;x^{(1)}=\begin{pmatrix}0{,}333\\[2pt]0{,}143\\[2pt]0{,}250\end{pmatrix},\quad x^{(2)}=\begin{pmatrix}0{,}429\\[2pt]0{,}036\\[2pt]0{,}238\end{pmatrix},\quad x^{(3)}=\begin{pmatrix}0{,}357\\[2pt]-0{,}007\\[2pt]0{,}161\end{pmatrix}.\]

Exercícios relacionados