Um topógrafo mede o ângulo de elevação até o topo de uma árvore como 30^{\circ}, estando a 25 metros de distância da base. Qual a altura da árvore?

Passo 1

O enunciado diz que um topógrafo está a 25 m da base de uma árvore e mede o ângulo de elevação até o topo como 30^\circ. O conteúdo é trigonometria em triângulo retângulo, e vamos usar a definição de tangente para relacionar altura e distância horizontal.

Passo 2

Modelamos a situação por um triângulo retângulo em que:
– o cateto adjacente ao ângulo de 30^\circ é a distância horizontal de 25 m,
– o cateto oposto é a altura h da árvore.

Passo 3

Pela definição de tangente,
\tan(30^\circ) = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}
ou seja,
\tan(30^\circ) = \frac{h}{25}.

Passo 4

Isolando h,
h = 25 \,\tan(30^\circ).

Passo 5

Sabemos que
\tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3},
portanto
h = 25 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{25\sqrt{3}}{3}\,\text{m}.
Em valor aproximado,
h \approx \frac{25 \times 1,732}{3} \approx 14,43\,\text{m}.

Resposta

A altura da árvore é \displaystyle \frac{25\sqrt{3}}{3}\approx14,43 metros.

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