[ total =0.5 p. ] Determine a saída do sistema LIT y(t)=e^{-\gamma t} u(t) *[u(t+2)-u(t-2)] analiticamente (pela integral da convolução).

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema LIT cuja resposta ao impulso é
h(t)=e^{-\gamma t}u(t)
e cuja entrada é
x(t)=u(t+2)-u(t-2),
ou seja, um pulso de amplitude 1 que existe só em -2<t<2.
Precisamos calcular a saída
y(t)=h(t)*x(t)
pela integral de convolução.

Passo 2

Escrevemos a integral de convolução usando que h(\tau)=e^{-\gamma\tau}u(\tau) e x(t-\tau)=u(t-\tau+2)-u(t-\tau-2):
y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}h(\tau)\,x(t-\tau)\,d\tau =\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\gamma\tau}u(\tau)\bigl[u(t-\tau+2)-u(t-\tau-2)\bigr]d\tau.
Como u(\tau)=0 para \tau<0, a integral vale
y(t)=\int_{0}^{\infty}e^{-\gamma\tau}\bigl[u(t-\tau+2)-u(t-\tau-2)\bigr]d\tau.

Passo 3

O termo \bigl[u(t-\tau+2)-u(t-\tau-2)\bigr] é 1 exatamente quando
t-\tau+2\ge0 \quad\text{e}\quad t-\tau-2<0,
ou seja
\tau\le t+2 \quad\text{e}\quad \tau>t-2.
Somando a condição \tau\ge0, os limites de integração ficam
\tau\in\bigl[\max(0,t-2)\,,\,t+2\bigr],
desde que t+2>\max(0,t-2). Destacamos três regiões de t:
  1. Se t\le -2, então t+2\le0 e a região é vazia, logo y(t)=0.
  2. Se -2<t<2, então \max(0,t-2)=0 e t+2>0, logo
y(t)=\int_{0}^{\,t+2}e^{-\gamma\tau}d\tau.
  1. Se t\ge2, então \max(0,t-2)=t-2 e t+2>t-2, logo
y(t)=\int_{t-2}^{\,t+2}e^{-\gamma\tau}d\tau.

Passo 4

Calculamos cada integral:
  1. Para -2<t<2,
\int_{0}^{\,t+2}e^{-\gamma\tau}d\tau =\Bigl[-\tfrac{1}{\gamma}e^{-\gamma\tau}\Bigr]_{0}^{t+2} =\frac{1}{\gamma}\bigl(1-e^{-\gamma(t+2)}\bigr).
  1. Para t\ge2,
\int_{t-2}^{\,t+2}e^{-\gamma\tau}d\tau =\Bigl[-\tfrac{1}{\gamma}e^{-\gamma\tau}\Bigr]_{t-2}^{t+2} =\frac{1}{\gamma}\bigl(e^{-\gamma(t-2)}-e^{-\gamma(t+2)}\bigr).

Resposta

Para \gamma>0, a saída é
y(t)= \begin{cases} 0,&t\le -2,\\[6pt] \dfrac{1}{\gamma}\bigl(1-e^{-\gamma(t+2)}\bigr),&-2<t<2,\\[8pt] \dfrac{1}{\gamma}\bigl(e^{-\gamma(t-2)}-e^{-\gamma(t+2)}\bigr),&t\ge2. \end{cases}]

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